алгоритм флойда python код

Графы: разные виды представления графов. Алгоритмы Дейкстры и Флойда: реализация на Python. Минимальное остовное дерево

Раскрашивание графов

Обход вершин графа

Метод обхода графа при котором в первую очередь переход делается из последней посещённой вершины (вершины хранятся в стеке). Обход в глубину получается естественным образом при рекурсивном обходе графа.

Метод обхода графа при котором в первую очередь переход делается из первой вершины, из которой мы ещё не ходили (вершины хранятся в очереди). Обход в глубину получается естественным образов при рекурсивном обходе графа.

Порядок обхода вершин при поиске в ширину

Поиск кратчайших путей в графах (объединение разделов по Дейкстре и Флойду)

Алгоритм Дейкстры

Алгоритм Дейкстры (Dijkstra’s algorithm) — алгоритм на графах, находящий кратчайшее расстояние от одной из вершин графа до всех остальных. Алгоритм работает только для графов без рёбер отрицательного веса (без рёбер с отрицательной «длиной»).

Примеры формулировки задачи

Вариант 1. Дана сеть автомобильных дорог, соединяющих города. Некоторые дороги односторонние. Найти кратчайшие пути от заданного города до каждого другого города (если двигаться можно только по дорогам).

Вариант 2. Имеется некоторое количество авиарейсов между городами мира, для каждого известна стоимость. Стоимость перелёта из A в B может быть не равна стоимости перелёта из B в A. Найти маршрут минимальной стоимости (возможно, с пересадками) от Копенгагена до Барнаула.

Идея алгоритма Дейкстры

Алгоритм состоит и 2 повторяющихся шагов:

Более подробное описание:

Обозначения:

Инициализация алгоритма:

Повторять (общий шаг алгоритма)

Алгоритм

Алгоритм Флойда

Алгоритм Флойда — Уоршелла — динамический алгоритм для нахождения кратчайших расстояний между всеми вершинами взвешенного ориентированного графа. Разработан в 1962 году Робертом Флойдом и Стивеном Уоршеллом.

Таким образом, для нахождения значения функции достаточно выбрать минимум из двух обозначенных значений.

Алгоритм Прима

Алгоритм Прима — алгоритм построения минимального остовного дерева взвешенного связного неориентированного графа. Алгоритм впервые был открыт в 1930 году чешским математиком Войцехом Ярником, позже переоткрыт Робертом Примом в 1957 году, и, независимо от них, Э. Дейкстрой в 1959 году.

Построение начинается с дерева, включающего в себя одну (произвольную) вершину. В течение работы алгоритма дерево разрастается, пока не охватит все вершины исходного графа. На каждом шаге алгоритма к текущему дереву присоединяется самое лёгкое из рёбер, соединяющих вершину из построенного дерева, и вершину не из дерева.

Обозначения:

Псевдокод:

Источник

[Алгоритм Флойда] Как обнаружить цикл в связанном списке в Python?

В этом руководстве вы узнаете, как реализовать простую программу Python для обнаружения, если связанный список состоит из цикла или нет. Если вам нужен краткий переподготовка к подключенным спискам, проверить этот блог. https://youtu.be/x6dfcncz8tk Определение цикла в связанном списке Связанный список может состоять из … [алгоритм Floyd] Как обнаружить цикл в связанном списке в Python? Прочитайте больше “

В этом руководстве вы узнаете, как реализовать простую программу Python для обнаружения, если связанный список состоит из цикла или нет. Если вам нужен краткий переподготовка к подключенным спискам, проверить этот блог.

Определение цикла в связанном списке

Связанный список может состоять из цикла, если хвостовой узел связанного списка указывает на другой узел в списке. Давайте увидим небольшой пример, чтобы понять концепцию цикла в связанном списке.

В приведенной выше показателе вы можете видеть, что узел хвостового узла связанного списка, а не указывает на NULL, указывает на другой узел – второй узел в списке. Если такой сценарий возникает, мы говорим, что есть цикл или цикл в списке.

Инициализация и настройка

Сначала мы начнем с помощью инициализации узлов и построении связанного списка.

Теперь мы подключам пятый узел к 3-м узлу, образующему цикл.

Подход 1: наивный подход

Теперь мы посмотрим на простой подход к реализации логики, чтобы узнать, состоит ли список цикла или нет. Один из подходов будет хранить адрес узла в словаре, когда мы проходим через список, и, как только мы столкнулись с узлом, адрес которого уже был в словаре, можно сказать, что в списке был цикл. Давайте посмотрим, как мы можем реализовать это в Python

Недостатком предыдущего подхода заключается в том, что он занимает 0 (N) сложность пространства. Можем ли мы решить эту проблему в O (1) космической сложности?

Подход 2: алгоритм обнаружения цикла Floyd

Мы можем решить эту проблему путем инициализации двух указателей, медленного указателя и быстрой указателя. На каждой итерации мы увеличиваем медленный указатель на 1 и быстрый указатель на 2. Затем мы проверяем, будет ли медленный указатель равен быстрой указателю I.e. Сделайте оба указывающие на тот же узел. Если это так, мы можем сказать, что в связанном списке есть цикл или цикл. Как только мы найдем цикл, мы можем вырваться из цикла While.

Представьте, что у нас есть список с 5 узлами, как показано на рисунке ниже. Как вы можете видеть хвостовой узел I.E. Узел со значением 9 указывает на узел со значением 7 или 3-м узлом в списке, тем самым формируя цикл или цикл.

В первой итерации медленный указатель увеличивается на 1 и быстрый указатель на 2. Как вы можете видеть на рисунке ниже, медленный указатель теперь указывает на узел со значением 6, и быстрый указатель указывает на узел со значением 7.

Во второй итерации медленный указатель указывает на узел со значением 7 и быстрыми указывающими указывающими на узел со значением 9 или последним узлом.

В третьей итерации мы наблюдаем, что как медленные, так и быстрые указатели указывают на тот же узел I.e. Узел со значением 8. В этом случае мы можем сделать вывод, что в списке есть цикл.

Дайте нам знать, как мы можем реализовать логику Adobe в Python.

Сначала мы инициализируем медленный указатель и быстрый указатель, указывающий на головной узел или первый узел. Затем мы запустим Wide Plup, и мы запускаем петлю, пока медленный указатель действителен, быстрый указатель действителен, и следующее значение быстрого указателя является действительным. Затем мы продолжаем увеличивать медленные и быстрые указатели на 1 и 2 соответственно, и если оба указателя имеют одинаковое значение адреса, мы вырвались из цикла и распечатаем, что был цикл в связанном списке. Вы можете найти всю логику ниже.

Этот алгоритм также называется Алгоритм обнаружения цикла Флойда Отказ

Вывод

В этом руководстве мы видели, как мы можем обнаружить цикл в цикле с использованием алгоритма обнаружения цикла Floyd. Этот алгоритм может обнаружить петлю в O (1) Космическая сложность и O (n) Сложность времени.

Источник

Floyd–Warshall algorithm

Алгоритм Флойда позволяет найти кратчайшее расстояние между любыми двумя вершинами в графе, при этом веса ребер могут быть как положительными, так и отрицательными. Данный алгоритм использует идею динамического программирования.

Будем считать, что в графе n вершин, пронумерованных числами от 0 до n−1. Граф задан матрицей смежности, вес ребра(i−j) хранится в w[i][j]. При отсутствии ребра (i−j) значение w[i][j]=+∞(INF), также будем считать, что w[i][i]=0 (нет петель).

Пусть значение a[k][i][j] равно длине кратчайшего пути из вершины i в вершину j, при этом путь может заходить в промежуточные вершины только с номерами меньшими k (не считая начала и конца пути). То есть a[0][i][j] — это длина кратчайшего пути из i в j, который вообще не содержит промежуточных вершин, то есть состоит только из одного ребра (i−j), поэтому a[0][i][j]=w[i][j] (изначальный вес ребра (i-j)). Значение a[1][i][j]=w[i][j] равно длине кратчайшего пути, который может проходить через промежуточную вершину с номером 0, путь с весом a[2][i][j] может проходить через промежуточные вершины с номерами 0 и 1 и т. д. Путь с весом a[n][i][j] может проходить через любые промежуточные вершины, поэтому значение a[n][i][j] равно длине кратчайшего пути из i в j.

Алгоритм Флойда последовательно вычисляет a[0][i][j], a[1][i][j], A[2][i][j], …, a[n][i][j], увеличивая значение параметра k. Начальное значение, как уже было сказано — a[0][i][j]=w[i][j].
Теперь предполагая, что известны значения a[k-1][i][j] вычислим a[k][i][j]. Кратчайший путь из вершины i в вершину j, проходящий через вершины с номерами, меньшими, чем k может либо содержать, либо не содержать вершину с номером k−1. Если он не содержит вершину с номером k−1, то вес этого пути совпадает с a[k-1][i][j]. Если же он содержит вершину k−1, то этот путь разбивается на две части: от вершины i до вершины k−1 и от вершины k−1 до j. Поэтому, из двух рассматриваемых вариантов необходимо выбрать вариант наименьшей стоимости:

A[k][i][j] = min(A[k — 1][i][j], A[k — 1][i][k — 1] + A[k — 1][k — 1][j]);

Источник

Алгоритм Флойда — Уоршелла

Алгоритм Флойда — Уоршелла — алгоритм для нахождения кратчайших расстояний между всеми вершинами взвешенного графа без циклов с отрицательными весами с использованием метода динамического программирования. Это базовый алгоритм, так что тем кто его знает — можно дальше не читать.

Этот алгоритм был одновременно опубликован в статьях Роберта Флойда (Robert Floyd) и Стивена Уоршелла (Stephen Warshall) в 1962 г., хотя в 1959 г. Бернард Рой (Bernard Roy) опубликовал практически такой же алгоритм, но это осталось незамеченным.

Ремарка

Если граф не содержит рёбер с отрицательным весом, то для решения этой проблемы можно использовать алгоритм Дейкстры для нахождения кратчайшего пути от одной вершины до всех остальных, запустив его на каждой вершине. Время работы такого алгоритма зависит от типа данных, который мы будем использовать для алгоритма Дейкстры, это может быть как простая очередь с приоритетом, так и бинарная или фибоначчиева Куча, соответственно время работы будет варьироваться от O(V 3 ) до O(V*E*log(V)), где V количество вершин, а E — рёбер. («О»-большое).

Если же есть рёбера с отрицательным весом, можно использовать алгоритм Беллмана — Форда. Но этот алгоритм, запущенный на всех вершинах графа, медленнее, время его работы O(V 2 *E), а в сильно «густых» графах аж O(V 4 ).

Динамическое программирование

Что значит динамический алгоритм? Динамическое программирование — это альтернатива решению задач методом «в лоб», то есть brute forc’ом или жадными алгоритмами. Используется там, где оптимальное решение подзадачи меньшего размера может быть использовано для решения исходной задачи. В общем виде метод выглядит так:

1. Разбиение задачи на подзадачи меньшего размера.
2. Нахождение оптимального решения подзадач рекурсивно.
3. Использование полученного решения подзадач для конструирования решения исходной задачи.

Для нахождения кратчайших путей между всеми вершинами графа используется не перебор всех возможностей, что приведет к большому времени работы и потребует больше памяти, а восходящее динамическое программирование, то есть все подзадачи, которые впоследствии понадобятся для решения исходной задачи, просчитываются заранее и затем используются.

Структура кратчайшего пути

В основе алгоритма лежат два свойства кратчайшего пути графа. Первое:

d k _ij = d k-1 _ij — просто перенимаем значение до увеличения k.

Случай 2. Элемент k входит в кратчайший путь p_ij, то есть после добавления новой вершины в можество разрешенных, кратчайший путь изменился и проходит теперь через вершину v_k. Какую стоимость получит новый путь?

Новый кратчайший путь разбит вершиной v_k на p_ik и p_kj, используем первое свойство, согласно ему, p_ik и p_kj также кратчайшие пути от v_i до v_k и от v_k до v_j соответственно. Значит

А так как в этих путях k либо конечный, либо начальный узел, то он не входит в множество промежуточных, соответственно его из него можно удалить:

Алгоритм

Посмотрим на значение d k _ij в обоих случаях — верно! оно в обоих случаях складывается из значений d для k-1, а значит имея начальные (k=0) значения для d, мы сможем расчитать d для всех последующих значений k. А значения d для k=0 мы знаем, это вес/стоимость рёбер графа, то есть соединений без промужуточных узлов.

При k=n (n — количество вершин) мы получим оптимальные значения d для всех пар вершин.

При увеличении с k-1 до k, какое значение мы сохраним для d k _ik? Минимумом значений случая 1 и 2, то есть смотрим дешевле ли старый путь или путь с добавлением дополнительной вершины.

Псевдокод

Наконец сам алгоритм. Мы используем представление графа в виде матрицы cмежностей.

Предполагается, что если между двумя какими-то вершинами нет ребра, то в матрице смежности было записано какое-то большое число (достаточно большое, чтобы оно было больше длины любого пути в этом графе); тогда это ребро всегда будет невыгодно брать, и алгоритм сработает правильно. Правда, если не принять специальных мер, то при наличии в графе рёбер отрицательного веса, в результирующей матрице могут появиться числа вида ∞-1, ∞-2, и т.д., которые, конечно, по-прежнему означают, что между соответствующими вершинами вообще нет пути. Поэтому при наличии в графе отрицательных рёбер алгоритм Флойда лучше написать так, чтобы он не выполнял переходы из тех состояний, в которых уже стоит «нет пути»

Пример

Первый пересчет матрицы — изменяется одно значение, из-за расширения множества разрешенных вершин на вершину «1» мы смогли добраться от вершины «4» до «2», используя более дешевый путь.

Вторая итерация, улучшили значение для p₄₃

Тут и там можно поиграть с аплетом и посмотреть как в живую работает алгоритм.

Анализ времени работы и использования памяти

Алгоритму требуется O(n 3 ) памяти, для сохранения матриц. Однако количество матриц можно легко сократить до двух, каждый раз переписывая ненужную матрицу или вообще перейти к двухмерной матрице, убрав индекс k у d k _ij. Лучший вариант, который чаще всего используется — писать сразу в матрицу смежности, тогда нам совсем не нужна дополнительная память, правда если сразу переписывать изначальную матрицу, то нужно дополнительно показать корректность алгоритма, так как классическое академическоле доказательство верно только для случая, когда матрица предыдущей итерации не изменяется.

Что касается времени работы — три вложенных цикла от 1 до n — Θ(n 3 ).

Случай отрицательных циклов

Кстати после отработки такого графа на диагонале матрицы кратчайших путей возникнут отрицательные числа — кратчайшее расстояние от вершины в этом цикле до неё самой будет меньше нуля, что соответствует проходу по этому циклу, так что алгоритм можно использовать для определения наличия отрицательных циклов в графе.

Реконструирование пути

Матрица расстояний покажет нам кратчайшее (самое дешевое) растояние для любой пары вершин, а как же узнать путь? Очень просто, при расчете d k _ij нужно расчитать еще и π k _ij. π k _ij при этом — предшественник вершины v_j на пути от v_i с множеством разрешенных промежуточных вершин <1..k>.

Я просто оставлю это сдесь, остально додумать может каждый сам

Применение

Как и любой базовый алгоритм, алгоритм Флойда — Уоршелла используется очень широко и много где, начиная от поиска транзитивного замыкания графа, заканчивая генетикой и управлением проектами. Но первое что приходит в голову конечно же транспортные и всякие другие сети.

Скажем если вы возьмете карту города — её транспортная система это граф, соответственно присвоив каждому ребру некую стоимость, расчитанную скажем из пропускной способности и других важный параметров — вы сможете подвести попутчика по самому короткому/быстрому/дешевому пути.

_{На этом всё, написано не очень, так что если укажите на ошибки, несостыковки, непонятки и прочее, буду благодарен, текст мне этот еще нужен будет 🙂}

Источник

Алгоритм Флойда – Уоршелла.

Наиболее часто используемое название, метод получил в честь двух американских исследователей Роберта Флойда и Стивена Уоршелла, одновременно открывших его в 1962 году. Реже встречаются другие варианты наименований: алгоритм Рой – Уоршелла или алгоритм Рой – Флойда. Рой – фамилия профессора, который разработал аналогичный алгоритм на 3 года раньше коллег (в 1959 г.), но это его открытие осталось безвестным.

Алгоритм Флойда – Уоршелла – динамический алгоритм вычисления значений кратчайших путей для каждой из вершин графа. Метод работает на взвешенных графах, с положительными и отрицательными весами ребер, но без отрицательных циклов, являясь, таким образом, более общим в сравнении с алгоритмом Дейкстры, т. к. последний не работает с отрицательными весами ребер, и к тому же классическая его реализация подразумевает определение оптимальных расстояний от одной вершины до всех остальных.

Для реализации алгоритма Флойда – Уоршелла сформируем матрицу смежности D[][] графа G=(V, E), в котором каждая вершина пронумерована от 1 до |V|. Эта матрица имеет размер |V|´|V|, и каждому ее элементу D[i][j] присвоен вес ребра, идущего из вершины i в вершину j. По мере выполнения алгоритма, данная матрица будет перезаписываться: в каждую из ее ячеек внесется значение, определяющее оптимальную длину пути из вершины i в вершину j (отказ от выделения специального массива для этой цели сохранит память и время).

Теперь, перед составлением основной части алгоритма, необходимо разобраться с содержанием матрицы кратчайших путей. Поскольку каждый ее элемент D[i][j] должен содержать наименьший из имеющихся маршрутов, то сразу можно сказать, что для единичной вершины он равен нулю, даже если она имеет петлю (отрицательные циклы не рассматриваются), следовательно, все элементы главной диагонали (D[i][i]) нужно обнулить.

А чтобы нулевые недиагональные элементы (матрица смежности могла иметь нули в тех местах, где нет непосредственного ребра между вершинами i и j) сменили по возможности свое значение, определим их равными бесконечности, которая в программе может являться, например, максимально возможной длинной пути в графе, либо просто – большим числом.

Ключевая часть алгоритма, состоя из трех циклов, выражения и условного оператора, записывается довольно компактно:

Источник