что такое код фибоначчи

Число Фибоначчи. Почему оно так популярно в природе?

Таинственное число Фибоначчи, равное 1,618, будоражит умы ученых уже на протяжении нескольких тысячелетий. Кто-то считает это число строителем мироздания, кто-то называет его числом Бога, а кто-то, не мудрствуя лукаво, просто применяет его на практике и получает невероятные архитектурные, художественные и математические творения. Число Фибоначчи было обнаружено даже в пропорциях знаменитого «Витрувианского человека» Леонардо Да Винчи, который утверждал, что знаменитое число, пришедшее из математики, руководит всей Вселенной.

«Витрувианский человек» Леонардо да Винчи обладает идеальными пропорциями, основанными на знании свойств числа Фибоначчи

Кто такой Фибоначчи?

Леонардо Пизанский считается самым первым крупным математиком в истории средневековой Европы. Несмотря на это, свое знаменитое прозвище «Фибоначчи» ученый получил далеко не из-за своих экстраординарных математических способностей, но из-за своего везения, так как «боначчи» по-итальянски означает «удачливый». Перед тем как стать одним из самых известных математиков раннего Средневековья, Леонардо Пизанский изучал точные науки у самых продвинутых учителей своего времени, которыми считались арабы. Именно благодаря этой деятельности Фибоначчи, в Европе появились десятичная система счисления и арабские цифры, которыми мы пользуемся до сих пор.

В одном из своих самых известных трудов под названием «Liber abaci», Леонардо Пизанский приводит уникальную закономерность чисел, которые при постановке в ряд образуют линию цифр, каждая из которых является суммой двух предыдущих чисел.

Последовательность Фибоначчи

Иными словами, последовательность Фибоначчи выглядит так:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987 и так далее.

Каждое число из ряда Фибоначчи, разделенное на последующее, имеет значение, стремящееся к уникальному показателю, которое составляет 1,618. Первые числа ряда Фибоначчи не дают настолько точное значение, однако по мере нарастания, соотношение постепенно выравнивается и становится все более точным.

Леонардо Пизанский — тот самый создатель числа Фибоначчи

Где используется число Фибоначчи

Из-за своего повсеместного применения в природе, золотое сечение (именно так число Фибоначчи иногда называют в искусстве и математике) считается одним из самых гармонизирующих законов мироздания, который упорядочивает структуру окружающего нас мира и направляет жизнь на развитие. Так, правило золотого сечения применяется природой для образования траекторий движения вихревых потоков в ураганах, при образовании эллиптических галактик, к которым относится и наш Млечный Путь, при «строительстве» раковины улитки или ушной раковины человека, направляет движение косяка рыб и показывает траекторию движения испуганной стаи оленей, врассыпную убегающую от хищника.

Проявление золотого сечения в природе

Эстетичность такой гармонизации мироздания воспринимается человеком, который всегда стремился улучшить окружающую его действительность, в качестве стабилизирующего природу закона. Находя золотое сечение в лице того или иного человека, мы инстинктивно воспринимаем собеседника в качестве гармоничной личности, чье развитие происходит без сбоев и нарушений. Этим можно объяснить то, почему иногда нам по непонятным причинам больше нравится одно лицо, чем другое. Оказывается, о наших возможных симпатиях позаботилась природа!

Как вы считаете, является ли повсеместное применение числа Фибоначчи в природе совпадением или свидетельством наличия некоего вселенского разума? Давайте попробуем обсудить этот вопрос в нашем Telegram-чате.

Наиболее распространенное определение золотого сечения гласит, что меньшая часть так относится к большей, как большая часть относится ко всему целому. Уникальное правило встречается во всех областях природы, науки и искусства, позволив некоторым именитым исследователям Средних Веков сделать предположение, что три основные части золотого сечения олицетворяют собой христианских Отца, Сына и Святого Духа.

Правилу золотого сечения следуют даже галактики. Наш Млечный Путь в этом плане не является исключением

Что такое золотое сечение

С точки зрения математики, золотое сечение представляет собой некую идеальную пропорцию, к которой каким-то образом стремится все живое и неживое в природе.

Так выглядит «золотое сечение»

Используя основные принципы ряда Фибоначчи, растут семечки в центре подсолнуха, движется спираль ДНК, был построен Парфенон и написана самая знаменитая картина в мире — «Джоконда» Леонардо Да Винчи.

Даже коты неосознанно (хотя, кто знает?) следуют принципу золотого сечения, становясь любимцами большей части населения планеты

Есть ли в природе гармония? Несомненно, есть. А ее доказательством служит число Фибоначчи, происхождение которого нам еще только предстоит отыскать.

Новости, статьи и анонсы публикаций

Свободное общение и обсуждение материалов

Миллиардер из Кремниевой долины хочет навестить ближайшую звезду. Вооружившись (или подпоясавшись?) кучей наличных денег и помощью своих друзей — включая физ…

Ученые показали крупнейшую карту того, как невидимая темная материя, которая, как считается, составляет 80% всей материи во Вселенной, заполняет ее. Новая карта представляет собой всю материю, обнаруженную в ходе наблюдения за галактиками 🔭

Самый большой урок общей теории относительности Эйнштейна состоит в том, что пространство само по себе не является плоской, неизменной и абсолютной сущностью…

Источник

Золотое сечение и числа Фибоначчи

Человек стремится к знаниям, пытается изучить мир, который его окружает. В процессе наблюдений появляются многочисленные вопросы, на которые, соответственно, требуется найти ответы. Человек ищет эти ответы, а находя их, появляются другие вопросы.

Оказывается, закономерность явлений природы, строение и многообразие живых организмов на нашей планете, всё, что нас окружает, поражая воображение своей гармонией и упорядоченностью, законы мироздания, движение человеческой мысли и достижения науки – всё это можно объяснить последовательностью Фибоначчи.

Леонардо был рожден в Пизе. Впоследствии получил прозвище Фибоначчи, что означает «хорошо рожденный сын». Когда Леонардо жил со своим отцом в странах Северной Африки, он изучал математику с арабскими учителями. Получив весь необходимый материал, он создал собственную книгу – «Книгу абака». Именно этот человек становится первым средневековым учёным, познакомившим Европу с арабской системой счисления, которой мы пользуемся всю нашу жизнь[1].

Основная задача, поясняющая возникновение ряда чисел Фибоначчи – задача о кроликах. Вопрос задачи звучит так: «Сколько пар кроликов в один год рождается от одной пары?». К задаче дано пояснение, что пара через месяц рождает ещё одну пару, а по природе кролики начинают объектом рождать потомство на второй месяц после своего рождения. Автор даёт нам решение задачи. Получается, что в первый месяц первая пара родит ещё одну. Во второй месяц первая пара родит ещё одну – будет три пары. В третий месяц родят две пары — изначально данная и рождённая в первый месяц. Получается пять пар. И так далее. Используя такую же логику в рассуждении, мы получим, что в четвёртый месяц будет 8 пар, в пятый– 13, в шестой – 21, в седьмой 34, в восьмой — 55, в девятый — 89, в десятый 144, в одиннадцатый – 233, в двенадцатый — 377[2](рис. 1).

Из этой задачи и можно вывести саму последовательность чисел Фибоначчи: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,… В основе этой последовательности лежит алгоритм: начиная с «1, 1» следующим числом будет сумма двух предыдущих чисел. Разделив любой член данной последовательности на член, который стоит перед ним, мы получим величину, называемую «пропорцией Золотого сечения» — примерно 1, 618[3].

В эпоху Возрождения художники открыли некие зрительные центры, которые, влияя на психику человека, невольно приковывают наше внимание. Данные точки не зависят от формата картины. Их всего четыре, они делят картину в пропорциях Золотого сечения- примерно 3/8 и 5/8 (рис.2).

Для того чтобы привлечь внимание зрителя к определенному элементу картины, необходимо совместить его с одним из зрительных центров. Данное открытие назвали «золотое сечение картины»[4].

Правило золотого сечения используется в стоматологии, именно они используются при художественной реставрации зубов, их восстановлении. Рассмотрим эстетическое восстановление передних зубов, фронтального зубного ряда (рис. 3)[5].

Золотые пропорции включают в себя такие моменты:

— как ширина верхнего переднего зуба относится к ширине нижнего;

— как соотносятся между собой по ширине:

2 резца в нижнем фронтальном ряду;

двое резцов в верхнем ряду;

— какое имеется расстояние между премолярами и т.д.

Так же правило золотого сечения используется в косметологии и пластической хирургии. У людей с красивыми лицами существует идеальная пропорция между расстояниями от медиального угла глаза до крыла носа и от крыла носа до подбородка. Это явление называется «динамической симметрией» или «динамическим равновесием».

Расстояние от линии смыкания губ до крыльев носа пропорционально расстоянию от линии губ до низшей точки подбородка в соотношении 1: 1,618. Ещё существует множество соотношений на лице, которые представлены на рисунке 4[6].

Числа Фибоначчи и Золотое сечение чтобы также используется и в психологии. Например, чтобы выяснить, как развивается механизм творчества, В.В. Клименко воспользовался математикой, а именно законами чисел Фибоначчи и пропорцией «золотого сечения» — законами природы и жизни человека. Если развернуть в ряд числа Фибоначчи, то получим: 1,1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 и т.д. Отношение между числами Фибоначчи составляет 0,618. Развитие человека также происходит соответственно данной пропорции и подчиняется закону ее чисел, разделяя нашу жизнь на этапы с теми или иными доминантами механизма творчества [7].

Числа Фибоначчи делят нашу жизнь на этапы по количеству прожитых лет:

• 0 —начало отсчета — ребёнок родился. У него еще отсутствуют не только психомоторика, мышление, чувства, воображение, но и оперативный энергопотенциал. Он — начало новой жизни, новой гармонии;

• 1 — ребенок овладел ходьбой и осваивает ближайшее окружение;

• 2 — понимает речь и действует, пользуясь словесными указаниями;

• 3 — действует посредством слова, задаёт вопросы;

• 5 — «возраст грации» — гармония психомоторики, памяти, воображения и чувств, которые уже позволяют ребёнку охватить мир во всей его целостности;

• 8 — на передний план выходят чувства. Им служит воображение, а мышление силами своей критичности направлено на поддержку внутренней и внешней гармонии…

Закономерность явлений природы, строение и многообразие живых организмов на нашей планете, всё, что нас окружает, поражая воображение своей гармонией и упорядоченностью, законы мироздания, движение человеческой мысли и достижения науки – всё это можно объяснить последовательностью Фибоначчи.

В заключении отмечу, что данная работа является законченным исследованием и при этом имеет ряд перспектив. В дальнейшем возможно исследовать как числа Фибоначчи используются в биологии, химии, как это можно использовать и применять на практике в бытовых условиях.

1. Воробьев Н.Н. Числа Фибоначчи. – 5-е изд. – М.: Наука, 1978 – 144с.

Источник

masterok

Мастерок.жж.рф

Хочу все знать

Итак, мы выяснили с вами Кто такой Фибоначчи, а теперь давайте рассмотрим вот такой феномен.

Оказывается Фибоначчи повсюду!

На самом деле эти числа были известны задолго до Фибоначчи ещё в древней Индии, где они использовались в метрическом стихосложении.

Леонардо Фибоначчи первым ввёл эту числовую последовательность в западноевропейской математической науке в своей важной книге «Liber Abaci» («Книга абака») в 1202 году. Он использовал эту последовательность чисел, когда пытался объяснить рост популяции кроликов.

Фибоначчи рассматривает гипотетическую ситуацию, когда в поле появляется пара кроликов. Они спариваются в конце месяца и в конце второго месяца самка производит еще одну пару. Кролики никогда не умирают, спариваются ровно через месяц, и самки всегда производят пару (один самец, одна самка). Вопрос, который поставил Фибоначчи был следующим: сколько пар будет через один год? Если посчитать, то окажется, что количество пар в конце N-го месяца равно Fn или N-му числу Фибоначчи. Таким образом, количество пар кроликов через 12 месяцев будет F12 или 144.

Числа Фибоначчи и золотое сечение

Как известно, последовательность Фибоначчи начинается с 1 и 1, после чего каждое новое число является результатом сложения двух предыдущих чисел:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …

Если разделить два последовательных числа в этом ряду, например 144/89, в конечном итоге получится число 1,618, которое называется «Золотое число» или «Золотое сечение».

Последовательное приближение соотношения двух соседних чисел ряда Фибоначчи к Золотому сечению.

Пропорция золотого сечения считается эстетически приятной и из-за этого многие художники и архитекторы, в том числе Сальвадор Дали и Ле Корбюзье использовали её в своих работах.
Последовательность Фибоначчи и Золотое сечение тесно взаимосвязаны. Отношение последовательных чисел Фибоначчи сходится и приближается к золотому сечению, а выражение замкнутой формулы для последовательности Фибоначчи включает Золотое сечение.

Золотой прямоугольник (розовый) с длинной стороной a и короткой стороной b, и находящийся рядом с ним квадрат со стороной длиной a, создадут подобный золотой прямоугольник с длинной стороной а + b и короткой стороной a. Это изобажение иллюстрирует взаимосвязь отношений (a+b)/a = a/b.

Спираль Фибоначчи или золотая спираль — это последовательность соединенных четвертей окружностей, вписанных внутри массивов квадратов со сторонами равными числам Фибоначчи. Квадраты идеально подходят друг к другу из-за природы последовательности Фибоначчи, в которой следующее число равно сумме двух перед ним (см.предыдущий рисунок). Любые два последовательных числа Фибоначчи имеют отношение, очень близкое к золотому сечению, которое составляет примерно 1.618034. Чем больше пара чисел Фибоначчи, тем ближе это приближение. Спираль и результирующий прямоугольник называются золотым прямоугольником.

Почему эта последовательность настолько уникальна
Числа Фибоначчи описывают различные явления в искусстве, музыке и природе. Числа спиралей на большинстве шишек и ананасах равны числам Фибоначчи. Расположение листьев и ветвей на стеблях многих растений соответствуют числам Фибоначчи. На пианино количество белых (8) клавиш и черных (5) клавиш в каждой октаве (13) являются числами Фибоначчи. Длины и ширины много прямоугольных предметов, таких как учетные карточки, окна, игральные карты и пр. соответствуют последовательным числам ряда Фибоначчи.

Числа Фибоначчи в природе

Подсолнухи являются отличными примерами последовательности Фибоначчи, потому что семена в центре цветка организованы в два набора спиралей — короткие, идущие по часовой стрелке от центра, и более длинные — против часовой стрелки. Если считать спирали последовательно, то, видимо, всегда найдутся числа Фибоначчи.

Вот еще несколько примеров, где вы можете найти спираль Фибоначчи в природе.

Неудивительно, что спиральные галактики также следуют знакомой схеме Фибоначчи. Млечный Путь имеет несколько спиральных рукавов, каждый из которых представляет логарифмическую спираль около 12 градусов.

Числа Фибоначчи в теле человека

Есть много примеров соотношений частей тела человека на основе последовательности Фибоначчи, например рука и, в частности, кости пальца.

Каждая кость указательного пальца, от кончика до основания запястья, больше предыдущей примерно на коэффициент Фибоначчи 1,618, что соответствует числам Фибоначчи 2, 3, 5 и 8.

Числа Фибоначчи в биржевой торговле

Последовательность Фибоначчи является инструментом технического анализа, используемым профессиональными трейдерами в сочетании с другими инструментами для расчета прогноза потенциального конца коррекции, принимая процент от предыдущего движения.

Считается, что во время мощного рыночного движения, цены могут откатываться на 23,6% (это соответствует отношению числа ряда Фибоначчи на позиции N к числу на позиции N+3), 38,2% (соответствует отношению числа ряда Фибоначчи на позиции N к числу на позиции N+2) или 50% (половина). Эти уровни коррекции Фибоначчи считаются «нормальными». Если же цена падает на 61,2% (отношение двух соседних чисел ряда Фибоначчи — позиции N и N+1) и более, то это серьезный сигнал вероятного разворота тренда.

Числа Фибоначчи в фотографии и искусстве

В фотографии сетка фи (phi) является интерполяцией спирали Фибоначчи и в наши дни считается фундаментальным методом для создания приятной композиции в кадре. Цель состоит в том, чтобы выровнять объект по линиям, созданным спиралью, или использовать её в качестве разделителя для создания правильного ощущения кадра.

Сетка фи (красные линии) и спираль Фиббоначи в кадре.

Имеется много примеров, когда последовательность Фибоначчи появляется вокруг нас, и мы не обращаем внимания на это математическое чудо, которое кажется таинственным фактором, приносящим универсальную форму гармонии элементам математического музыкального искусства природы.

Может именно из-за этого Дональд Трамп был избран президентом? (шутка):

И еще немного фундаментального числа!

Источник

Завораживающая последовательность Фибоначчи

Jan 4, 2020 · 4 min read

Занимаясь изучением обработки данных, расчётами, а также другими компьютерными и математическими операциями, мы сталкиваемся со многими алгоритмами. Несмотря на то, что иногда мы недолюбливаем математику, мы зачастую даже не подозреваем, что окружены великим множеством вещей, идеально сбалансированных по ее принципам самой природой.

Одним из таких принципов, который весьма интересен для изучения, является последовательность Фибоначчи. Мы можем обнаружить ее во многих проявлениях природы: в числе лепестков цветка, количестве спиралей у подсолнуха и т.д.

В процессе работы с кодом мы сталкиваемся со многими алгоритмами: рекурсивные, типа “разделяй и властвуй”, рандомизированные, методы подбора и пр. Однако одними из наиболее полезных являются именно рекурсивные алгоритмы.

Что же такое алгоритм?

В первую очередь, алгоритм является набором задач, которым необходимо следовать для решения проблемы. Время его выполнения определяется числом шагов, необходимых для завершения всех этих задач (в некоторых случаях термин runtime может обозначать нотацию О большое в CS, которая описывает качество алгоритма).

Так что же такое рекурсия и как работает рекурсивная функция?

Рекурсия — это процесс, при котором некий элемент вызывает сам себя или описывает себя в виде ссылки на самого себя до выполнения некоего условия (true), затем этот процесс останавливается.

Рекурсивная функция — это функция, вызывающая саму себя в процессе выполнения, что также именуется как прямая рекурсия. В обратном смысле это выглядит как две функции, вызывающие друг друга, и называется непрямой рекурсией.

Как мы вычисляем последовательность Фибоначчи и почему важно ее знать?

Для тех, кто только начал осваивать программирование будет очень полезным знать, как и когда стоит применять рекурсию или итеративные функции.

Математикам же последовательность Фибоначчи помогает мыслить более критически и развивать логику, работая с дифференциальными уравнениями.

Математическая формула Фибоначчи

Принцип построения последовательности Фибоначчи заключается в том, что каждое последующее ее число соответствует сумме двух ему предшествующих.

При n=0 мы получаем F0=0, а при n=1 получится F1=1. Нам всегда известны эти два начальных значения последовательности. Задача в том, чтобы выяснить, как формируются дальнейшие ее значения и каково будет значение для числа n, которое мы захотим проверить. Поэтому мы всегда начинаем с числа n>1.

Последовательность Фибоначчи рассчитывается по формуле, приведенной ниже:

Шаги вычисления значения Фибоначчи для n=6 :

А что получится, если мы возведем эти числа в квадрат?

В результате мы получим уже не числа Фибоначчи. Тем не менее они раскрываются внутри значений, получаемых при сложении этих чисел. Из этого можно сделать вывод, что почти каждая сумма является частью последовательности Фибоначчи. Давайте посмотрим, как работают числа Фибоначчи на примере золотого прямоугольника:

Нам всем известно, что:

Площадь прямоугольника S = b x h => b ширина, h высота.

Что же получится, если мы сложим квадраты чисел, как указано выше?

Площадь прямоугольника S = 1*1+ 1*1 + 2*2 +3*3 +5*5 + 8*8+13*13 = 273 = 13×21

И снова мы получаем числа Фибоначчи.

Если же поделить большее число последовательности на меньшее, то получатся, например, такие результаты:

13/8=1.625, 21/13=1.615, 34/21=1.619, 55/34=1.6176, 89/55=1.61818 …

Здесь мы видим значение, приближенное к значению золотого сечения, и чем большее число мы делим, тем больше их соответствие.

Ниже приведен JavaScript код, вычисляющий последовательность Фибоначчи. Временная сложность в нем линейна, т.к. цикл осуществляется от 2 до n. Время выполнения составляет О(n).

Источник

Как я посчитал миллионное число Фибоначчи

Все мы понимаем, что рекурсивное вычисление чисел Фибоначчи крайне неэффективно. Многим людям наверняка хотелось проверить, где пределы (не)эффективности, но не доходили руки, не хватало времени. Специально к старту нового потока курса Fullstack-разработчик на Python мы решили поделиться переводом статьи, автор которой шаг за шагом показывает возможности современного Python на примере разных подходов к вычислению чисел Фибоначчи. В статье вы найдёте проблемные значения n и сравнение производительности оптимального и неоптимального решений на графике.

Нет, заголовок вообще не кликбейтный. Несколько дней назад я действительно хотел найти оптимальное решение для расчёта чисел Фибоначчи, хотелось попробовать вычислить стотысячное число последовательности, но я задумался; если я могу вычислить стотысячное число, то что остановит меня в поисках миллионного числа Фибоначчи? Сегодня я покажу, как шёл к вычислению и с какими проблемами столкнулся.

Последовательность Фибоначчи — одна из наиболее известных математических последовательностей и самый простой пример рекуррентных отношений. Каждое число последовательности — это сумма двух предыдущих чисел, начиная с 0 и 1. Получается такая последовательность:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 и так далее.

В следующие несколько минут я исследую несколько разных подходов, а затем покажу оптимальное решение:

Расчёт 1000000-го числа Фибоначчи.

Но, прежде чем мы начнём, я должен сказать, что все упомянутые тайминги касаются оборудования, на котором я работаю сейчас, а версия Python — 3.9.1.

Простая рекурсия

Это очень простой способ получить N-ное число Фибоначчи на Python:

В коде используется рекурсия, он вызывает сам себя несколько раз, вычисляя предыдущее число и используя это число для вычисления следующего. Но это также недостаток, поскольку функция чрезвычайно неэффективна и ресурсоёмка: на каждом этапе она вычисляет предыдущие 2 числа, а также предыдущие 2 числа этих чисел и т. д.

Вскоре вы достигаете точки, когда вычисление следующего числа занимает слишком много времени, например, на моём компьютере мне потребовалось 1,43 секунды, чтобы вычислить 35-е число. Очевидно, что вычисление более высоких значений будет чрезвычайно медленным и практически невозможным.

Кеш с рекурсией

Поскольку мы постоянно вычисляем предыдущие 2 числа, для хранения числа можно воспользоваться возможностями кеширования, не нужно будет вычислять числа несколько раз. Встроенный модуль functools позволяет нам работать с LRU кешем; этот тип кеша организует элементы в порядке их использования. Такой подход может значительно ускорить процесс.

Во-первых, нам нужно импортировать декоратор lru_cache из модуля functools и поместить его перед нашей функцией. Мы можем указать значение maxsize, чтобы сообщить кешу, сколько элементов нужно хранить, но по умолчанию оно равно 128, это значение прекрасно работает. Используя кеш, мы можем вычислить 200-е число Фибоначчи всего за 0,0002252 секунды!

Одна проблема с использованием рекурсии заключается в том, что если вы попытаетесь вычислить 501-е число, то получите ошибку RecursionError: maximum recursion depth exceeded in comparison. Но, к счастью, проблему можно решить, установив большее значение глубины рекурсии:

Теперь мы можем вычислить 1000-е число Фибоначчи, на вычисление которого мне потребовалось всего 0,001198 секунды. Однако это создало для меня ещё одну проблему: по какой-то странной причине я не мог вычислить 1553-е число в последовательности, и даже после увеличения предела рекурсии ничего не произойдёт, ничего не будет распечатано на терминале, и программа просто закончит выполнение. Очевидно, что это проблема и недостаток на моём пути к вычислению миллионного числа Фибоначчи.

Итеративный метод

Вы можете увидеть, что применение рекурсивного решения проблемы в компьютерной науке часто рассматривается как халатность, а итеративные методы считаются намного лучше. Для генерации чисел Фибоначчи мы можем создать итеративное решение:

Мы можем воспользоваться им, чтобы вычислить любое число Фибоначчи (я не тестировал подход с особенно большими числами), и часто этот подход работает также очень быстро, 1000-е число вычислилось всего за 0,0028195 секунды.

Вы можете задаться вопросом, почему нельзя воспользоваться этим подходом для вычисления 1000000-го числа, и да, это возможно, но займёт немного времени. Продолжайте читать, и я расскажу, почему.

Формула Бине

Формула Бине — это формула, которая может использоваться для вычисления n-го члена последовательности Фибоначчи, а это именно то, что мы хотим сделать; эта формула названа в честь открывшего её французского математика Жака Филиппа Мари Бине. Вот она:

Формула Бине для вычисления n-ного числа Fibonacci

Вы можете заметить греческую букву PHI (ϕ), она означает золотое сечение:

Уравнение золотого сечения, phi

Можно написать формулу на Python и сразу же начать работать с ней:

Примечание: для реализации на Python нам нужно вернуть округление вычисляемого числа, потому что при вычислении большого числа Python вернёт результат, в котором может быть более двадцати девяток после запятой.

Всё это хорошо, так как теперь у нас нет никаких циклов и мы можем мгновенно вычислить ответ, верно? Что ж, в этом методе есть небольшая загвоздка. Если мы попытаемся вычислить что-либо выше 1475-го числа, то столкнёмся с ошибкой: OverflowError: (34, result too large). Это связано с тем, как в python реализованы числа с плавающей точкой, они могут иметь конкретное максимальное значение, которое мы превышаем, когда используем этот метод.

Однако исправить ситуацию очень легко. Мы можем использовать встроенный модуль под названием decimal, чтобы создать десятичный объект с гораздо более высокой точностью и подходящим для работы с уравнением размером:

В этой новой функции мы устанавливаем значение точности длиной 10000 цифр, преобразуем наше значение квадратного корня из 5 в десятичное значение объекта и используем его в нашем уравнении. Это позволяет нам легко вычислить 10000-е число в последовательности за поразительные 0,0692986 секунды, а это по сравнению со всеми нашими предыдущими методами огромное улучшение.

Расчёт 1000000-го числа Фибоначчи

Теперь вы, возможно, заметили, что формула работает медленнее итерационного решения, когда n=10000. Это связано с тем, что в формуле нам нужно создать десятичный объект и использовать его в уравнении, этот процесс занимает больше времени, чем повторение одной простой инструкции 10000 раз. Но история ещё не окончена.

Увеличение количества циклов может радикально увеличить длительность всего процесса. В какой-то момент, когда n составляет приблизительно 89200, время, необходимое итеративному решению для вычисления ответа, равно времени, которое необходимо при вычислении по формуле; когда же n увеличивается, время выполнения итеративного алгоритма возрастает с большей скоростью, чем время на решение по формуле.

График, показывающий время работы формулы Бине и итерационного решения

На графике видно точку пересечения времени выполнения формулы и итерационных графиков. Исходя из этого мы можем сказать, что с увеличением n время вычисления числа Фибоначчи по формуле возрастает линейно. Но при итеративном решении время увеличивается с увеличением n. Это даёт нам понять, что для вычисления миллионного числа Фибоначчи нам нужно использовать формулу. Дополнительное изменение, которое я должен был сделать, чтобы правильно вычислить число, — увеличить точность моего десятичного объекта строкой кода decimal.getcontext().prec = 300000.

Ваше время выполнения алгоритма может отличаться. На моём компьютере, чтобы вычислить 1000000-е число Фибоначчи, потребовалось:

8,832661 секунды при решении с итерацией;

1,151380 секунды с формулой Бине, это в 7,7 раза быстрее!

Если вам хочется узнать число, оно состоит из 208988 цифр и в текстовом файле занимает 209 КБ:

Заключение

Вот так я вычислил миллионное число Фибоначчи, конечно, я мог бы вычислить число больше, но на самом деле для этого нет никакой реальной причины, и это заняло бы много времени, даже с использованием формулы Бине. Из приведённого выше графика я могу оценить затраты времени: чтобы вычислить миллиардное число Фибоначчи, мне потребуется примерно 310,8467 секунды, я оставлю это читателям. А чтобы получить специальность Fullstack-разработчик на Python — потребуется немногим более года. Но можно и быстрее — на нашем курсе студенты не привязаны к программе и скорость их прогресса зависит от них самих.

Узнайте, как прокачаться и в других специальностях или освоить их с нуля:

Источник