дополнительный код двоичного числа примеры

Обратный и дополнительный коды двоичных чисел

Пример перевода
x₁=10101-[x₁]_пр=010101
x₂=-11101-[x₂]_пр=111101
x₃=0,101-[x₃]_пр=0,101
x₄=-0,111-[x₄]_пр=1,111
2) Обратный код числа, используется для выполнения арифметических операций вычитания, умножения, деления, через сложение. Обратный код положительного числа совпадает с его прямым кодом, обратный код отрицательного числа формируется по правилам: в знаковом разряде записывается “1”; цифровые значения меняются на противоположные.

3) Дополнительный код числа, имеет такое же назначение, как и обратный код числа. Формируется по следующим правилам: положительные числа в дополнительном коде выглядят также как и в обратном и в прямом коде, т.е. не изменяются. Отрицательные числа кодируются следующим образом: к обратному коду отрицательного числа (к младшему разряду) добавляется 1, по правилу двоичной арифметики.

Пример перевода
x₁=10101-[x₁]_доп=010101
x₂=-11101-[x₂]_обр=100010+1-[x₂]_доп=100011
x₃=0,101-[x₃]_доп=0,101
x₄=-0,111-[x₄]_обр=1,000+1-[x₄]_доп=1,001
Для выявления ошибок при выполнении арифметических операций используются также модифицированные коды: модифицированный прямой; модифицированный обратный; модифицированный дополнительный, для которых под код знака числа отводится два разряда, т.е. “+”=00; ”-”=11. Если в результате выполнения операции в знаковом разряде появляется комбинация 10 или 01 то для машины это признак ошибки, если 00 или 11 то результат верный.

Источник

Коды двоичных чисел

Виды кодов отрицательных чисел

В принципы работы вычислительных машин заложен принцип двоичного кодирования: все данные представлены в виде закодированных некоторым образом двоичных чисел. коды двоичных чисел необходимы для того, чтобы производить над данными логические и арифметические операции.

В истории развития компьютеров использовались три основных варианта представления знаковых чисел:

Во всех трёх кодах положительные числа выглядят одинаково. Различия в форме записи отрицательных чисел в обратном и дополнительном кодах касаются только способа представления модуля числа, а способ кодирования и место расположения знакового бита остаются неизменными.

Прямой код двоичного числа

В системе представления в прямом коде число состоит из кода знака и модуля числа, причём обе эти части обрабатываются по отдельности.

Примеры прямого кода для правильных дробей:

Примеры прямого кода для целых чисел:

,

то есть значение, существенно отличающееся от ожидаемого.

По причине отмеченных недостатков в вычислительных машинах используется не прямой код, а обратный и дополнительный коды.

В этих системах кодирования чисел место расположения знакового разряда и способ кодирования остаются теми же, что и в прямом кодировании. Однако знаковый разряд уже не рассматривается как обособленный, а считается неотъемлемой частью числа аналогично разрядам модуля числа и совместно с ними.

Обратный код двоичного числа

Для отрицательных двоичных чисел процедура получения обратного кода следующая: в знаковой разряд записывается единица, а в цифровых разрядах прямого кода единицы заменяются нулями, а нули единицами.

Примеры обратного кода для правильных дробей:

.

Примеры обратного кода для целых чисел:

.

Как нетрудно заметить, положительные числа в прямом и обратном кодах выглядят одинаково.

Дополнительный код двоичного числа

Для примера рассмотрим число X, которое в прямом коде имеет вид:

.

Тогда обратный код можно записать как

.

Для получения дополнительного кода прибавим 1 к младшему разряду обратного кода:

.

Примеры дополнительного кода для правильных дробей:

.

Примеры дополнительного кода для целых чисел:

.

Положительные числа в дополнительном коде записываются так же, как и в прямом. При представлении чисел в дополнительном коде есть только одна форма записи нуля: 0.0. 00, причём ноль считается положительным числом, так как его знаковый бит равен 0.

В большинстве вычислительных машин отрицательные числа представлены в дополнительном коде.

Сложение и вычитание чисел в обратном и дополнительном кодах

Вычитание производится как сложение чисел, одно из которых с отрицательным знаком.

При выполнении алгебраического сложения знаковый разряд и цифры модуля рассматриваются как единое целое и обрабатываются совместно. Перенос из старшего (знакового) разряда в обратном и дополнительном кодах учитывается по-разному. В случае обратного кода единица переноса из знакового разряда прибавляется к младшему разряду суммы. При использовании дополнительного кода единица переноса из знакового разряда отбрасывается.

Пример 1. Сложить числа и

При использовании обратного кода получим:

При использовании дополнительного кода получим:

Если знаковый разряд результата равен нулю, это означает, что получено положительное число, которое выглядит так же, как и в прямом коде. Единица в знаковом разряде означает, что результат отрицательный и его запись соответствует представлению в том коде, в котором производилась операция.

Источник

Представление целых чисел: прямой код, код со сдвигом, дополнительный код

Выбор способа хранения целых чисел в памяти компьютера — не такая тривиальная задача, как могло бы показаться на первый взгляд. Желательно, чтобы этот способ:

Рассмотрим разные методы представления.

Содержание

Прямой код [ править ]

Достоинства представления чисел с помощью прямого кода [ править ]

Недостатки представления чисел с помощью прямого кода [ править ]

Из-за весьма существенных недостатков прямой код используется очень редко.

Код со сдвигом [ править ]

По сути, при таком кодировании:

Достоинства представления чисел с помощью кода со сдвигом [ править ]

Недостатки представления чисел с помощью кода со сдвигом [ править ]

Из-за необходимости усложнять арифметические операции код со сдвигом для представления целых чисел используется не часто, но зато применяется для хранения порядка вещественного числа.

Дополнительный код (дополнение до единицы) [ править ]

В качестве альтернативы представления целых чисел может использоваться код с дополнением до единицы (англ. Ones’ complement).

Алгоритм получения кода числа:

Достоинства представления чисел с помощью кода с дополнением до единицы [ править ]

Недостатки представления чисел с помощью кода с дополнением до единицы [ править ]

Дополнительный код (дополнение до двух) [ править ]

Чаще всего для представления отрицательных чисел используется код с дополнением до двух (англ. Two’s complement).

Алгоритм получения дополнительного кода числа:

Длинная арифметика для чисел, представленных с помощью кода с дополнением до двух [ править ]

Достоинства представления чисел с помощью кода с дополнением до двух [ править ]

Недостатки представления чисел с помощью кода с дополнением до двух [ править ]

Несмотря на недостатки, дополнение до двух в современных вычислительных системах используется чаще всего.

Источник

Прямой, обратный и дополнительный коды двоичного числа

Прямой код двоичного числа
Обратный код двоичного числа
Дополнительный код двоичного числа

Мы знаем, что десятичное число можно представить в двоичном виде. К примеру, десятичное число 100 в двоичном виде будет равно 1100100, или в восьмибитном представлении 0110 0100. А как представить отрицательное десятичное число в двоичном виде и произвести с ним арифметические операции? Для этого и предназначены разные способы представления чисел в двоичном коде.
Сразу отмечу, что положительные числа в двоичном коде вне зависимости от способа представления (прямой, обратный или дополнительный коды) имеют одинаковый вид.

Прямой код

Обратный код

Для неотрицательных чисел обратный код двоичного числа имеет тот же вид, что и запись неотрицательного числа в прямом коде.
Для отрицательных чисел обратный код получается из неотрицательного числа в прямом коде, путем инвертирования всех битов (1 меняем на 0, а 0 меняем на 1).
Для преобразования отрицательного числа записанное в обратном коде в положительное достаточного его проинвертировать.

Арифметические операции с отрицательными числами в обратном коде:

Дополнительный код

В дополнительном коде (как и в прямом и обратном) старший разряд отводится для представления знака числа (знаковый бит).

Арифметические операции с отрицательными числами в дополнительном коде

Вывод:
1. Для арифметических операций сложения и вычитания положительных двоичных чисел наиболее подходит применение прямого кода
2. Для арифметических операций сложения и вычитания отрицательных двоичных чисел наиболее подходит применение дополнительного кода

(34 голосов, оценка: 4,68 из 5)

Источник

Дополнительный код двоичного числа примеры

Арифметические операции на сумматорах прямого, обратного и дополнительного кода

Все операции в ЭВМ выполняют над числами, представленными специальными машинными кодами. Их использование позволяет обрабатывать знаковые разряды чисел так же, как и значащие разряды, а также заменять операцию вычитания операцией сложения.

Каждому двоичному числу можно поставить в соответствие несколько видов кодов.

Различают следующие коды двоичных чисел: прямой (П), обратный (ОК) и дополнительный (ДК).

Прямой код двоичного числа образуется из абсолютного значения этого числа и кода знака (0 или 1) перед его старшим числовым разрядом.

Прямой код двоичного числа образуется по следующему алгоритму:

1) определить данное двоичное число: либо целое (порядок), либо правильная дробь (мантисса);

2) если это дробь, то цифры после запятой можно рассматривать как целое число;

3) если это целое и положительное двоичное число, то вместе с добавлением нуля в старший разряд число превращается в код.

Для отрицательного двоичного числа перед ним ставится единица.

число Y ₂ = +0,11011012 → код числа Y _пр = 01101101.

Подчеркиванием выделяют знаковые разряды.

Обратный код двоичного числа образуется по следующему алгоритму:

1) обратный код положительных чисел совпадает с их прямым кодом;

2) обратный код отрицательного числа содержит единицу в знаковом разряде числа, а значащие разряды числа заменяются инверсными, т. е. нули заменяются единицами, а единицы нулями.

Свое название обратный код получил потому, что коды цифр отрицательного числа заменены инверсными.

Наиболее важные свойства обратного кода чисел:

— сложение положительного числа С с его отрицательным значением в обратном коде дает так называемую машинную единицу МЕ_ок = 1|1111, состоящую из единиц в знаковом и в значащих разрядах числа;

— нуль в обратном коде имеет двоякое значение.

Он может быть как положительным числом 0|0000, так и отрицательным 1|1111.

Двойственное представление нуля явилось причиной того, что в современных ЭВМ все числа представляются не обратным, а дополнительным кодом.

Обратный код положительного двоичного числа совпадает с прямым кодом, а для отрицательного числа нужно, исключая знаковый разряд, во всех остальных разрядах нули заменить единицами и наоборот.

Дополнительный код положительных чисел совпадает с их прямым кодом. Дополнительный код отрицательного числа представляет собой результат суммирования обратного кода числа с единицей младшего разряда (2 0 – для целых чисел, 2 –k – для дробных).

Основные свойства дополнительного кода:

· сложение дополнительных кодов положительного числа С с его отрицательным значением дает так называемую машинную единицу дополнительного кода:

т. е. число 10 (два) в знаковых разрядах числа;

Дополнительный код положительного числа совпадает с его прямым кодом. Дополнительный код отрицательного числа образуется путем прибавления единицы к обратному коду.

Арифметические действия в машинных кодах

Сложение, а также вычитание чисел в обратном или дополнительном кодах выполняют с использованием обычного правила арифметического сложения многоразрядных чисел.

Это правило распространяется и на знаковые разряды чисел.

Различие обратного и дополнительного кодов связано с последующими действиями с единицей переноса из старшего разряда, изображающего знак числа.

При сложении чисел в обратном коде эту единицу надо прибавить к младшему разряду результата, а в дополнительном коде единица переноса из старшего разряда игнорируется, так как дополнительный код из обратного получается как раз прибавлением единицы.

Сложение и вычитание машинных чисел

Операция вычитания приводится к операции сложения путем преобразования чисел в обратный или дополнительный код согласно таблице.

Сложение (вычитание) машинных чисел

Скобки в представленных выражениях указывают на замену операции вычитания операцией сложения с обратным или дополнительным кодом соответствующего числа.

Сложение двоичных чисел осуществляется последовательно, поразрядно в соответствии с таблицей.

При выполнении сложения цифр необходимо соблюдать следующий алгоритм:

1) слагаемые должны иметь одинаковое число разрядов.

Для выравнивания разрядной сетки слагаемых можно дописывать незначащие нули слева к целой части числа и незначащие нули справа к дробной части числа;

2) знаковые разряды участвуют в сложении так же, как и значащие;

3) необходимые преобразования кодов производят с изменением знаков чисел. Приписанные незначащие нули изменяют свое значение при преобразованиях по общему правилу;

4) при преобразовании единицы переноса из старшего знакового разряда, в случае использования ОК, эта единица складывается с младшим числовым разрядом.

При использовании ДК единица переноса теряется. Знак результата формируется автоматически, результат представляется в том коде, в котором представлены исходные слагаемые.

1. Сложить два числа: А₁₀ = 7, В₁₀ = 16.

Исходные числа имеют различную разрядность, необходимо провести выравнивание разрядной сетки:

Сложение в обратном или дополнительном коде дает один и тот же результат:

2. Сложить два числа: А₁₀ = +16, В₁₀ = –7 в ОК и ДК.

По таблице необходимо преобразование А +(–В), в которой второй член преобразуется с учетом знака:

При сложении чисел в ОК и ДК были получены переносы в знаковый разряд и из знакового разряда.

В случае ОК перенос из знакового разряда требует дополнительного прибавления единицы младшего разряда.

В случае ДК этот перенос игнорируется.

Пример сложения чисел +18 и –7 приведен в таблице.

Источник