двоичная арифметика в прямом коде

Двоичная арифметика. Прямой, обратный, дополнительный и модифицированный коды

В ЭВМ в целях упрощения выполнения арифметических операций применяют специальные коды для представления чисел. Использование кодов позволяет свести операцию вычитания чисел к арифметическому сложению кодов этих чисел. Применяются прямой, обратный и дополнительный коды чисел. Прямой код используется для представления отрицательных чисел в запоминающем устройстве ЭВМ, а также при умножении и делении. Обратный и дополнительный коды используются для замены операции вычитания операцией сложения, что упрощает устройство арифметического блока ЭВМ.

К кодам выдвигаются следующие требования:

1) Разряды числа в коде жестко связаны с определенной разрядной сеткой.

2) Для записи кода знака в разрядной сетке отводится фиксированный, строго определенный разряд. Например, если за основу представления кода взят один байт, то для представления числа будет отведено 7 разрядов, а для записи кода знака один разряд.

Прямой код. Прямой код двоичного числа совпадает по изображению с записью самого числа. Значение знакового разряда для положительных чисел равно 0, а для отрицательных чисел 1.

Знаковым разрядом обычно является крайний левый разряд в разрядной сетке. В дальнейшем при записи кода знаковый разряд от цифровых условимся отделять запятой. Если количество разрядов кода не указано будем предполагать, что под запись кода выделен один байт.

Обратный код. Обратный код для положительного числа совпадает с прямым кодом. Для отрицательного числа все цифры числа заменяются на противоположные (1 на 0, 0 на 1), а в знаковый разряд заносится единица.

Дополнительный код. Дополнительный код положительного числа совпадает с прямым кодом. Для отрицательного числа дополнительный код образуется путем получения обратного кода и добавлением к младшему разряду единицы.

Прямой код Обратный код Дополнительный код

0,0001101 0,0001101 0,0001101

Прямой код Обратный код Дополнительный код

1,0001101 1,1110010 1,1110011

4.3.2 Особенности сложения чисел в обратном и дополнительном кодах

При сложении чисел в дополнительном коде возникающая единица переноса в знаковом разряде отбрасывается.

При сложении чисел в обратном коде возникающая единица переноса в знаковом разряде прибавляется к младшему разряду суммы кодов.

Если результат арифметических действий является кодом отрицательного числа, необходимо преобразовать его в прямой код. При этом обратный код преобразуется в прямой заменой цифр во всех разрядах кроме знакового на противоположные. Дополнительный код преобразуется в прямой также, как и обратный, с последующим прибавлением единицы к младшему разряду.

Сложить двоичные числа X и Y в обратном и дополнительном кодах.

1) Сложим числа, пользуясь правилами двоичной арифметики:

2) Сложим числа, используя коды:

Прямой код	Сложение в обратном коде	Сложение в дополнительном коде

Так как результат сложения является кодом положительного числа (знак 0), то (X+Y)_обр=(X+Y)_доп=(X+Y)_пр.

1) Сложим числа, пользуясь правилами двоичной арифметики:

2) Сложим числа, используя коды:

Прямой код	Сложение в обратном коде	Сложение в дополнительном коде

Так как сумма является кодом отрицательного числа (знак 1), то необходимо перевести результаты в прямой код:

— из обратного кода
(X+Y)_обр=1,1110100 (X+Y)_пр=1,0001011;

4.3.3 Модифицированные обратный и дополнительный коды.

При переполнении разрядной сетки, происходит перенос единицы в знаковый разряд. Это приводит к неправильному результату, причем положительное число, получившееся в результате арифметической операции может восприниматься как отрицательное (так как в знаковом разряде «1») и наоборот. Например:

Рассмотрим предыдущий пример, выполнив сложение в модифицированном обратном коде:

Рассмотрим ещё один пример.

1) Переведем X и Y в модифицированный дополнительный код:

2) Выполним сложение:

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Источник

Прямой, дополнительный и обратный коды

Прямой, дополнительный и обратный код числа (создан по запросу).

Далее идет калькулятор, который переводит введенное положительное или отрицательное целое число в двоичный код, а также выводит обратный код этого числа и его дополнительный код. Под калькулятором, как водится, немного теории.

Обновление: Из комментариев становится ясно, что люди не вполне понимают, что делает этот калькулятор. Точнее, что делал — применял алгоритм вычисления дополнительного кода к любому числу. Люди хотят, чтобы он им просто показывал дополнительный код числа. Ну хорошо — теперь при вводе положительного числа калькулятор показывает представление числа в двоичной форме, ибо для него нет обратного и дополнительного кода, а при вводе отрицательного показывает дополнительный и обратный код.

Прямой, дополнительный и обратный код

Прямой код числа это представление беззнакового двоичного числа. Если речь идет о машинной арифметике, то как правило на представление числа отводится определенное ограниченное число разрядов. Диапазон чисел, который можно представить числом разрядов n равен

Обратный код числа, или дополнение до единицы (one’s complement) это инвертирование прямого кода (поэтому его еще называют инверсный код). То есть все нули заменяются на единицы, а единицы на нули.

Дополнительный код числа, или дополнение до двойки (two’s complement) это обратный код, к младшему значащему разряду которого прибавлена единица

А теперь «зачем, зачем это все?» ©

Для различия положительных и отрицательных чисел выделяют старший разряд числа, который называется знаковым (sign bit)
0 в этом разряде говорит нам о том, что это положительное число, а 1 — отрицательное.

С положительными числами все вроде бы понятно, для их представления можно использовать прямой код
0 — 0000
1 — 0001
7 — 0111

А как представить отрицательные числа?

И это оказалось очень удобно для машинных вычислений — при таком представлении отрицательного числа операции сложения и вычитания можно реализовать одной схемой сложения, при этом очень легко определять переполнение результата (когда для представления получившегося числа не хватает разрядности)

Пара примеров
7-3=4
0111 прямой код 7
1101 дополнительный код 3
0100 результат сложения 4

-1+7=6
1111 дополнительный код 1
0111 прямой код 7
0110 результат сложения 6

Что касается переполнения — оно определяется по двум последним переносам, включая перенос за старший разряд. При этом если переносы 11 или 00, то переполнения не было, а если 01 или 10, то было. При этом, если переполнения не было, то выход за разряды можно игнорировать.

Примеры где показаны переносы и пятый разряд

00111 прямой код 7
00001 прямой код 1
01110 переносы
01000 результат 8 — переполнение

Два последних переноса 01 — переполнение

-7+7=0
00111 прямой код 7
01001 дополнительный код 7
11110 переносы
10000 результат 16 — но пятый разряд можно игнорировать, реальный результат 0

Два последних переноса 11 з перенос в пятый разряд можно отбросить, оставшийся результат, ноль, арифметически корректен.
Опять же проверять на переполнение можно простейшей операцией XOR двух бит переносов.

Вот благодаря таким удобным свойствам дополнительный код это самый распространенный способ представления отрицательных чисел в машинной арифметике.

Источник

Прямой, обратный и дополнительный коды двоичного числа

Прямой код двоичного числа
Обратный код двоичного числа
Дополнительный код двоичного числа

Мы знаем, что десятичное число можно представить в двоичном виде. К примеру, десятичное число 100 в двоичном виде будет равно 1100100, или в восьмибитном представлении 0110 0100. А как представить отрицательное десятичное число в двоичном виде и произвести с ним арифметические операции? Для этого и предназначены разные способы представления чисел в двоичном коде.
Сразу отмечу, что положительные числа в двоичном коде вне зависимости от способа представления (прямой, обратный или дополнительный коды) имеют одинаковый вид.

Прямой код

Обратный код

Для неотрицательных чисел обратный код двоичного числа имеет тот же вид, что и запись неотрицательного числа в прямом коде.
Для отрицательных чисел обратный код получается из неотрицательного числа в прямом коде, путем инвертирования всех битов (1 меняем на 0, а 0 меняем на 1).
Для преобразования отрицательного числа записанное в обратном коде в положительное достаточного его проинвертировать.

Арифметические операции с отрицательными числами в обратном коде:

Дополнительный код

В дополнительном коде (как и в прямом и обратном) старший разряд отводится для представления знака числа (знаковый бит).

Арифметические операции с отрицательными числами в дополнительном коде

Вывод:
1. Для арифметических операций сложения и вычитания положительных двоичных чисел наиболее подходит применение прямого кода
2. Для арифметических операций сложения и вычитания отрицательных двоичных чисел наиболее подходит применение дополнительного кода

(34 голосов, оценка: 4,68 из 5)

Источник

Арифметических операций в прямом обратном и дополнительном коде

(Тут немного теории чтоб на уши подсесть ему, а все операции на семинарах были).

Представление положительных и отрицательных чисел в памяти компьютера. Прямой и дополнительный код числа

Прямой код – это представление числа в двоичной системе счисления, при котором первый (старший) разряд отводится под знак числа. Если число положительное, то в левый разряд записывается 0; если число отрицательное, то в левый разряд записывается 1.

Таким образом, в двоичной системе счисления, используя прямой код, в восьмиразрядной ячейке (байте) можно записать семиразрядное число. Например:

1 00011010 – отрицательное число

При этом в вычислительной технике прямой код используется почти исключительно для представления положительных чисел.

Для отрицательных чисел используется так называемый дополнительный код. Это связано с удобством выполнения операций над числами электронными устройствами компьютера.

В дополнительном коде, также как и прямом, первый разряд отводится для представления знака числа. Прямой код используется для представления положительных чисел, а дополнительный – для представления отрицательных. Поэтому, если в первом разряде находится 1, то мы имеем дело с дополнительным кодом и с отрицательным числом.

Все остальные разряды числа в дополнительном коде сначала инвертируются, т.е. заменяются противоположными (0 на 1, а 1 на 0). Например, если 1 0001100 – это прямой код числа, то при формировании его дополнительного кода, сначала надо заменить нули на единицы, а единицы на нули, кроме первого разряда. Получаем 1 1110011. Но это еще не окончательный вид дополнительного кода числа.

Далее следует прибавить единицу к получившемуся инверсией числу:

1 1110011 + 1 = 1 1110100

В итоге и получается число, которое принято называть дополнительным кодом числа.

Причина, по которой используется дополнительный код числа для представления отрицательных чисел, связана с тем, что так проще выполнять математические операции. Например, у нас два числа, представленных в прямом коде. Одно число положительное, другое – отрицательное и эти числа нужно сложить. Однако просто сложить их нельзя. Сначала компьютер должен определить, что это за числа. Выяснив, что одно число отрицательное, ему следует заменить операцию сложения операцией вычитания. Потом, машина должна определить, какое число больше по модулю, чтобы выяснить знак результата и определиться с тем, что из чего вычитать. В итоге, получается сложный алгоритм. Куда проще складывать числа, если отрицательные преобразованы в дополнительный код. Это можно увидеть на примерах ниже.

Операция сложения положительного числа и отрицательного числа, представленного в прямом коде

Прямой код числа 5: 0 000 0101

Два исходных числа сравниваются. В разряд знака результата записывается знак большего исходного числа.

Если числа имеют разные знаки, то вместо операции сложения используется операция вычитания из большего по модулю значения меньшего. При этом первый (знаковый) разряд в операции не участвует.

Операция сложения положительного числа и отрицательного числа, представленного в дополнительном коде

Прямой код числа 5: 0 000 0101

Прямой код : 1 000 0111

Инверсия : 1 111 1000

Добавление единицы: 1 111 1001

Проверка результата путем преобразования к прямому коду.

Дополнительный код: 1 111 1110

Вычитание единицы : 1 111 1101

Арифметические операции в двоичной системе счисления

В двоичной системе счисления арифметические операции выполняются по тем же правилам, что и в десятичной системе счисления, т.к. они обе являются позиционными (наряду с восьмеричной, шестнадцатеричной и др.).

Сложение одноразрядных двоичных чисел выполняется по следующим правилам:

В последнем случае, при сложении двух единиц, происходит переполнение младшего разряда, и единица переносится в старший разряд. Переполнение возникает в случае, если сумма равна основанию системы счисления (в данном случае это число 2) или больше его (для двоичной системы счисления это не актуально).

Сложим для примера два любых двоичных числа:

Вычитание одноразрядных двоичных чисел выполняется по следующим правилам:

Умножение одноразрядных двоичных чисел выполняется по следующим правилам:

Деление выполняется так же как в десятичной системе счисления:

Алгебра логики: Основные понятия, Функции алгебры логики (ФАЛ)

Булевой (логической) переменной называют переменную, принимающую значение из множества <0,1>. Название «логическая» следует из того, что её значения трактуются чаще всего как «истина» (для 1) и «ложь» (для 0).

Функцией алгебры логики (переключательной или булевой функцией) от n переменных называют однозначное отображение множества всевозможных наборов значений n булевых переменных в множество <0,1>.

Такую функцию можно представить в виде таблицы из n+1столбцов и 2 n строк. Эта таблица называется таблицей истинности.

Наборы значений переменных располагают в лексикографическом порядке (в порядке возрастания),как в примере в табл. 5.1 для n = 3.

Второй способ описания функции состоит в том. что перечисляются наборы значений, на которых функция равна 1 (множество Т1), или равна 0 (множество Т0).

Для приведённого примера функцию можно представить как Т1=<001,010,100, 111>.

Определение. Булева функция существенно зависит от переменной х_i, если найдутся два набора значений переменных, отличающиеся только i-й компонентой, на которых значения функции не совпадают. Переменная, от которой функция существенно не зависит, называется несущественной или мнимой для данной функции.

Пример. Пусть функция на наборах значений переменных и равна, соответственно, 1 и 0. Эта функция существенно зависит от второй переменной, потому что её значение на этих наборах определяется только значением этой переменной.

Будем считать, что функция не изменится, если в нее добавить или из нее убрать любое количество несущественных переменных.

Среди четырех функций одной переменной, приведенных в табл.5.2, две функции, первая и последняя, являются константами (не зависящими ни от одной переменной). Их обозначают соответственно как 0 и 1. Вторая функция повторяет переменную. Третья противоположна ей, называется инверсией и обозначается `x.

Пусть [n] – число функций, существенно зависимых от n переменных. Тогда [1] = 2, [0] = 2. Для любого n это число можно подсчитать по рекуррентной формуле

Так, для n = 2 [2]=16-2-2×2=10. Для n=3 [3]=256-2-3×2-3×10=218.

Источник

Обратный и дополнительный коды двоичных чисел

Пример перевода
x₁=10101-[x₁]_пр=010101
x₂=-11101-[x₂]_пр=111101
x₃=0,101-[x₃]_пр=0,101
x₄=-0,111-[x₄]_пр=1,111
2) Обратный код числа, используется для выполнения арифметических операций вычитания, умножения, деления, через сложение. Обратный код положительного числа совпадает с его прямым кодом, обратный код отрицательного числа формируется по правилам: в знаковом разряде записывается “1”; цифровые значения меняются на противоположные.

3) Дополнительный код числа, имеет такое же назначение, как и обратный код числа. Формируется по следующим правилам: положительные числа в дополнительном коде выглядят также как и в обратном и в прямом коде, т.е. не изменяются. Отрицательные числа кодируются следующим образом: к обратному коду отрицательного числа (к младшему разряду) добавляется 1, по правилу двоичной арифметики.

Пример перевода
x₁=10101-[x₁]_доп=010101
x₂=-11101-[x₂]_обр=100010+1-[x₂]_доп=100011
x₃=0,101-[x₃]_доп=0,101
x₄=-0,111-[x₄]_обр=1,000+1-[x₄]_доп=1,001
Для выявления ошибок при выполнении арифметических операций используются также модифицированные коды: модифицированный прямой; модифицированный обратный; модифицированный дополнительный, для которых под код знака числа отводится два разряда, т.е. “+”=00; ”-”=11. Если в результате выполнения операции в знаковом разряде появляется комбинация 10 или 01 то для машины это признак ошибки, если 00 или 11 то результат верный.

Источник