изображение отрицательных чисел в прямом обратном дополнительном кодах

Как представляется отрицательное число в дополнительном коде?

Неверно.
1111-1111 = 255

256 это:
0000-0001 0000-0000

Во-первых, вы ошиблись. В беззнаковом типе 1111.1111 = 255 (а не 256!), в знаковом типе 1111.1111 = −1 (а не −127).
1000.0000 — соответственно −128 и 128.
256 не передашь одним байтом — ни в знаковом типе, ни в беззнаковом.

Ну и ответ на ваш главный вопрос.
> Как ЭВМ понимает, какое число положительное, а какое отрицательное?
Если заведомо известно, что в ячейке знаковое число — как сказано выше, по верхнему биту (1 — минус, 0 — ноль или плюс). А различить знаковое и беззнаковое число — работа, вообще-то, не машины, а программиста и компилятора, и если просто дана ячейка неизвестного типа — никак не узнаешь, signed там, unsigned, дробное, указатель или символ.
• Сложение и вычитание работает одинаково для знаковых и беззнаковых чисел.
• Проверка переполнений и сравнение. Используются три флага: флаг равенства (zf, zero), флаг знакового переполнения (of, overflow) и флаг беззнакового переполнения (cf, carry). Каждая из арифметических функций заполняет и знаковые, и беззнаковые флаги, и есть отдельные функции ветвления для беззнаковых чисел (above/below — например, ja, jbe = jna…) и для знаковых (greater/less — jg, jle = jng). Jump if above, jump if below or equal, и т.д.
• Умножение и деление — также разные функции, беззнаковая mul/div и знаковая imul/idiv.

Кстати, по этой причине компилятор ругается, если нужно сравнивать signed и unsigned. Единственный способ надёжно сделать это, например, для 4-байтовых чисел — расширить до 8-байтового signed, чтобы уместился и тот, и другой.

Источник

Обратный и дополнительный коды двоичных чисел

Пример перевода
x₁=10101-[x₁]_пр=010101
x₂=-11101-[x₂]_пр=111101
x₃=0,101-[x₃]_пр=0,101
x₄=-0,111-[x₄]_пр=1,111
2) Обратный код числа, используется для выполнения арифметических операций вычитания, умножения, деления, через сложение. Обратный код положительного числа совпадает с его прямым кодом, обратный код отрицательного числа формируется по правилам: в знаковом разряде записывается “1”; цифровые значения меняются на противоположные.

3) Дополнительный код числа, имеет такое же назначение, как и обратный код числа. Формируется по следующим правилам: положительные числа в дополнительном коде выглядят также как и в обратном и в прямом коде, т.е. не изменяются. Отрицательные числа кодируются следующим образом: к обратному коду отрицательного числа (к младшему разряду) добавляется 1, по правилу двоичной арифметики.

Пример перевода
x₁=10101-[x₁]_доп=010101
x₂=-11101-[x₂]_обр=100010+1-[x₂]_доп=100011
x₃=0,101-[x₃]_доп=0,101
x₄=-0,111-[x₄]_обр=1,000+1-[x₄]_доп=1,001
Для выявления ошибок при выполнении арифметических операций используются также модифицированные коды: модифицированный прямой; модифицированный обратный; модифицированный дополнительный, для которых под код знака числа отводится два разряда, т.е. “+”=00; ”-”=11. Если в результате выполнения операции в знаковом разряде появляется комбинация 10 или 01 то для машины это признак ошибки, если 00 или 11 то результат верный.

Источник

Представление целых чисел: прямой код, код со сдвигом, дополнительный код

Выбор способа хранения целых чисел в памяти компьютера — не такая тривиальная задача, как могло бы показаться на первый взгляд. Желательно, чтобы этот способ:

Рассмотрим разные методы представления.

Содержание

Прямой код [ править ]

Достоинства представления чисел с помощью прямого кода [ править ]

Недостатки представления чисел с помощью прямого кода [ править ]

Из-за весьма существенных недостатков прямой код используется очень редко.

Код со сдвигом [ править ]

По сути, при таком кодировании:

Достоинства представления чисел с помощью кода со сдвигом [ править ]

Недостатки представления чисел с помощью кода со сдвигом [ править ]

Из-за необходимости усложнять арифметические операции код со сдвигом для представления целых чисел используется не часто, но зато применяется для хранения порядка вещественного числа.

Дополнительный код (дополнение до единицы) [ править ]

В качестве альтернативы представления целых чисел может использоваться код с дополнением до единицы (англ. Ones’ complement).

Алгоритм получения кода числа:

Достоинства представления чисел с помощью кода с дополнением до единицы [ править ]

Недостатки представления чисел с помощью кода с дополнением до единицы [ править ]

Дополнительный код (дополнение до двух) [ править ]

Чаще всего для представления отрицательных чисел используется код с дополнением до двух (англ. Two’s complement).

Алгоритм получения дополнительного кода числа:

Длинная арифметика для чисел, представленных с помощью кода с дополнением до двух [ править ]

Достоинства представления чисел с помощью кода с дополнением до двух [ править ]

Недостатки представления чисел с помощью кода с дополнением до двух [ править ]

Несмотря на недостатки, дополнение до двух в современных вычислительных системах используется чаще всего.

Источник

Прямой, обратный и дополнительный коды двоичного числа

Прямой код двоичного числа
Обратный код двоичного числа
Дополнительный код двоичного числа

Мы знаем, что десятичное число можно представить в двоичном виде. К примеру, десятичное число 100 в двоичном виде будет равно 1100100, или в восьмибитном представлении 0110 0100. А как представить отрицательное десятичное число в двоичном виде и произвести с ним арифметические операции? Для этого и предназначены разные способы представления чисел в двоичном коде.
Сразу отмечу, что положительные числа в двоичном коде вне зависимости от способа представления (прямой, обратный или дополнительный коды) имеют одинаковый вид.

Прямой код

Обратный код

Для неотрицательных чисел обратный код двоичного числа имеет тот же вид, что и запись неотрицательного числа в прямом коде.
Для отрицательных чисел обратный код получается из неотрицательного числа в прямом коде, путем инвертирования всех битов (1 меняем на 0, а 0 меняем на 1).
Для преобразования отрицательного числа записанное в обратном коде в положительное достаточного его проинвертировать.

Арифметические операции с отрицательными числами в обратном коде:

Дополнительный код

В дополнительном коде (как и в прямом и обратном) старший разряд отводится для представления знака числа (знаковый бит).

Арифметические операции с отрицательными числами в дополнительном коде

Вывод:
1. Для арифметических операций сложения и вычитания положительных двоичных чисел наиболее подходит применение прямого кода
2. Для арифметических операций сложения и вычитания отрицательных двоичных чисел наиболее подходит применение дополнительного кода

(34 голосов, оценка: 4,68 из 5)

Источник

Изображение отрицательных чисел в прямом обратном дополнительном кодах

2. Основы машинной арифметики с двоичными числами.

Любая информация (числа, команды, записи и т. п.) представляется в ЭВМ в виде двоичных кодов фиксированной или переменной длины. Отдельные элементы двоичного кода, имеющие значение 0 или 1, называют разрядами или битами. Двоичный код состоящий из 8 разрядов носит название байта. Для записи чисел также используют 32-разрядный формат (машинное слово), 16-разрядный формат (полуслово) и 64-разрядный формат (двойное слово).

В ЭВМ в целях упрощения выполнения арифметических операций применяют специальные коды для представления чисел. Использование кодов позволяет свести операцию вычитания чисел к арифметическому сложению кодов этих чисел. Применяются прямой, обратный и дополнительный коды чисел. Прямой код используется для представления отрицательных чисел в запоминающем устройстве ЭВМ, а также при умножении и делении. Обратный и дополнительный коды используются для замены операции вычитания операцией сложения, что упрощает устройство арифметического блока ЭВМ. К кодам выдвигаются следующие требования:
1) Разряды числа в коде жестко связаны с определенной разрядной сеткой.
2) Для записи кода знака в разрядной сетке отводится фиксированный, строго определенный разряд.
Например, если за основу представления кода взят один байт, то для представления числа будет отведено 7 разрядов, а для записи кода знака один разряд.

Прямой код. Прямой код двоичного числа совпадает по изображению с записью самого числа. Значение знакового разряда для положительных чисел равно 0, а для отрицательных чисел 1.

Знаковым разрядом обычно является крайний разряд в разрядной сетке. В дальнейшем при записи кода знаковый разряд от цифровых условимся отделять запятой. Если количество разрядов кода не указано будем предполагать, что под запись кода выделен один байт.

Обратный код. Обратный код для положительного числа совпадает с прямым кодом. Для отрицательного числа все цифры числа заменяются на противоположные (1 на 0, 0 на 1), а в знаковый разряд заносится единица.

Дополнительный код. Дополнительный код положительного числа совпадает с прямым кодом. Для отрицательного числа дополнительный код образуется путем получения обратного кода и добавлением к младшему разряду единицы.

Для числа +1101:

2.2 Особенности сложения чисел в обратном и дополнительном кодах.

При сложении чисел в дополнительном коде возникающая единица переноса в знаковом разряде отбрасывается.

При сложении чисел в обратном коде возникающая единица переноса в знаковом разряде прибавляется к младшему разряду суммы кодов.

Если результат арифметических действий является кодом отрицательного числа, необходимо преобразовать его в прямой код. При этом обратный код преобразуется в прямой заменой цифр во всех разрядах кроме знакового на противоположные. Дополнительный код преобразуется в прямой также, как и обратный, с последующим прибавлением единицы к младшему разряду.

Сложить двоичные числа X и Y в обратном и дополнительном кодах.

1) Сложим числа, пользуясь правилами двоичной арифметики:

2) Сложим числа, используя коды:

1) Сложим числа, пользуясь правилами двоичной арифметики:

2) Сложим числа, используя коды:

2.3 Модифицированные обратный и дополнительный коды.

При переполнении разрядной сетки, происходит перенос единицы в знаковый разряд. Это приводит к неправильному результату, причем положительное число, получившееся в результате арифметической операции может восприниматься как отрицательное (так как в знаковом разряде «1») и наоборот.

Рассмотрим предыдущий пример, выполнив сложение в модифицированном обратном коде:

1) Переведем X и Y в модифицированный дополнительный код: