код да винчи и ряды фибоначчи
Код да Винчи и ряды Фибоначчи
Золотое сечение, или Код да Винчи
1.1. Что такое код да Винчи?
1.2. Геометрическое определение Золотого сечения
1.3. Алгебраические свойства золотой пропорции
1.4. Уравнение золотой пропорции
1.5. Золотой прямоугольник
1.6. Декагон: связь Золотого сечения с числом p
1.7. Золотой прямоугольный треугольник и золотой эллипс
1.8. Пентагон и золотой равнобедренный треугольник
1.9. Золотое сечение и тайны египетской культуры
1.10. Золотое сечение в греческой культуре
1.11. Золотое сечение в искусстве Возрождения. “Мона Лиза” Леонардо да Винчи
1.12. “Божественная пропорция” Луки Пачоли
1.13. “Пропорциональность в архитектуре” Г. Д. Гримма
1.14. Золотое сечение в искусстве XIX и XX веков
1.15. Формула красоты
1.16. Золотое сечение в музыке
1.17. Обобщенные золотые пропорции
1.18. Обобщенный принцип Золотого сечения и закон структурной гармонии систем
2.1. Кто такой Фибоначчи?
2.3. Вариации на тему Фибоначчи
2.5. Формула Кассини
2.6. Теорема Пифагора и числа Фибоначчи
2.8. Гиперболические функции Фибоначчи и Люка
2.9. Золотой шофар и геометрия Вселенной
2.10. Прямоугольник Фибоначчи и спираль Фибоначчи
2.12. Симметрия природы и природа симметрии
2.13. Вездесущий филлотаксис
2.14. “Фибоначчиевы” резонансы генетического кода
2.16. Проблема выбора, или Умрет ли буриданов осел?
2.17. Волны Эллиотта
2.18. Обобщенные числа Фибоначчи и математика гармонии
3.1. Код да Винчи в платоновых телах
3.2. Архимедовы тела
3.3. Тайна египетского календаря
3.4. Додекаэдро-икосаэдрическая доктрина
3.5. Иоганн Кеплер: от “Мистерии” до “Гармонии”
3.7. Икосаэдр как главный геометрический объект математики
3.8. Правильные многогранники в природе и современной науке
3.9. Использование правильных многогранников в искусстве
3.10. Нужно ли вводить Золотое сечение в школьное образование?
Код да винчи и ряды фибоначчи
Роман «Код да Винчи» американского писателя Дэна Брауна, опубликованный в 2003 г., получил широкую известность в мире и по праву завоевал право называться «бестселлером» 21-го века. Он стал лидером книжных продаж в 2003 году. В первый же день после публикации он был продан в количестве 6000 экземпляров. За первую неделю продажи, роман «Код да Винчи» занял первое место в списке Нью-Йоркских бестселлеров. Позже роман стал хитом №1 среди всех крупных бестселлеров в стране. «Код да Винчи» один из наиболее продаваемых романов всех времен.
Кто же автор этого замечательного романа и почему роман стал бестселлером 21-го века? Американский писатель Дэн Браун родился в 1965 году в Нью-Гэмпшире (США), отец его был профессором математики, а мать – профессиональным музыкантом. Сын победителя «Президентской награды» («Presidential Award») и профессионального музыканта, Дэн рос в окружении парадоксов философии в науке и религии. Свою карьеру Дэн Браун начинал как автор песен, музыкант и исполнитель, выпустил несколько компакт-дисков со своими записями.
Американский писатель Дэн Браун
В 1995 году он попробовал себя как писатель, опубликовав вместе с женой книгу «187 мужчин, от которых следует держаться подальше: путеводитель для романтически фрустрированных женщин». В 1998 году писатель, которого всегда интересовали философия, история религии, криптография и тайные организации, опубликовал первый свой роман-триллер «Цифровая крепость». Дальнейшие его произведения также создавались на «стыке жанров»: в 2000 году свет увидел интеллектуальный конспирологический детектив «Ангелы и демоны», а в 2001 году вышел триллер «Точка обмана» («Deception Point»). В 2003 приключения профессора Роберта Лэнгдона из «Ангелов и демонов» были продолжены романом «Код да Винчи». В начале 2004 года все четыре романа Дэна Брауна побывали в списке бестселлеров «Нью-Йорк Таймс», где пробыли на протяжении нескольких недель.
Что же привлекло читателей в романе Дэна Брауна? «Книга, которую все купили, но мало кто прочитал». «Роман, от которого все в восторге, но мало кто может объяснить почему». «История, которая всех заинтриговала, но мало кто с ней согласился». Именно так критики характеризуют бестселлер Дэна Брауна «Код Да Винчи», «взорвавший» книжные магазины в 2003 году, переведенный на 42 языка и разошедшийся по всему миру 20-миллионным тиражом.
Главная интрига романа связана с историей христианства. В романе сделана попытка раскрытия тайн Ватикана, связанная с рождением Иисуса Христа. В книге рассказывается о том, как гарвардский профессор Роберт Лэнгдон, занимающийся историей религии и иконографией, пытается разгадать закодированный смысл картины Леонардо да Винчи «Тайная вечеря» и раскрыть тайну Священного Грааля. В основу сюжета положена идея, что Церковь на протяжении веков скрывала от верующих, что Иисус Христос женился на блуднице Марии Магдалине, и она родила ему ребенка. Согласно Брауну, после распятия беременная Мария скрывается в Галлии, где рожает ребенка от Иисуса, от которого якобы пошел род французских королей династии Меровингов, а их потомки якобы живут до сих пор. Тайну сию хранит таинственный Приорат Сиона, и с убийства в Лувре Великого Магистра этого ордена Жака Соньера и начинается роман. Великий Магистр оставляет тайное послание своей внучке Софи Невё. Она становится главной героиней триллера, а главным героем — Роберт Лэнгдон, профессор религиозной символики Гарвардского университета, где на самом деле такой дисциплины нет. Роман вызвал невиданный общественный резонанс и скандальную полемику о жизни и смерти Сына Божьего. Сейчас по роману «Код да Винчи» начались съемки фильма компанией «Каламбия Пикчерс». Конечно, главная причина скандальной известности романа состоит в том, что Дэн Браун этой книгой, по существу, бросил смелый вызов Ватикану и христианской церкви. Ватикан и Русская православная церковь выступили с резкой критикой в адрес романа. Иерархи высказывают серьезную обеспокоенность в связи с тем, что читатели могут воспринять сюжет романа как перессказ евангельской истории и отнестись к книге как к священному тексту.
У каждого, кто прочитал роман Дэна Брауна, невольно возникает вопрос: а что же такое «Код да Винчи»? Как сообщает сам автор, секретный код скрыт в произведениях великого гения Возрождения Леонардо да Винчи: это относится не только к фреске «Тайная вечеря» и портрету Моны Лизы («Джоконды»), но даже к лику на одной из величайших христианских святынь, знаменитой Туринской Плащанице, якобы представляющему собой автопортрет Леонардо. Авторы настоящей книги берут на себя смелость дать другой ответ на этот вопрос, проанализировав одну из глав романа «Код да Винчи», в котором описываются воспоминания главного героя книги профессора Роберта Лэнгдона о лекции, прочитанной им для студентов Гарвардского университета.
Лекция профессора Лэнгдона
для студентов Гарвардского университета
Главным героем книги «Код да Винчи» является Роберт Лэнгдон, профессор религиозной символики Гарвардского университета. Раскрывая тайну убийства Жака Соньера, Роберт Лэнгдон обращает внимание на тот факт, что это убийство связано с «Витрувийским человеком» Леонардо да Винчи (именно такую позу занял Жак Соньер в момент убийства), последовательностью Фибоначчи, знаменитым пентаклом, главным сакральным символом пифагорейского союза. Этот факт приводит профессора Лэнгдона к следующим размышлениям: «Да Винчи, последовательность Фибоначчи, пентакл. Неким непостижимым образом их связывала одна из самых фундаментальных концепций в истории искусств, рассмотрению которой он, Лэнгдон, даже посвящал несколько лекций на своем курсе. Мысленно он перенесся в Гарвард, увидел себя перед аудиторией. Вот он поворачивается к доске, где мелом выведена тема «Символизм в искусстве». И пишет под ней свое любимое число: 1, 618».
Как известно, это число называется числом PHI в честь выдающегося греческого скульптора Фидия (Phidias), который широко использовал это уникальное число в своих скульптурах. И далее в своей лекции Лэнгдон объясняет, что, несмотря на почти мистическое происхождение, число PHI сыграло уникальную роль кирпичика в фундаменте построения всего живого на земле. Все растения, животные и даже человеческие существа наделены физическими пропорциями, основанными на числе PHI. Эта вездесущность PHI в природе указывает на связь всех живых существ. Раньше считали, что число PHI было предопределено Творцом вселенной. Ученые древности называли одну целую шестьсот восемнадцать тысячных «божественной пропорцией».
И далее профессор Лэнгдон демонстрирует студентам огромное количество примеров проявления «божественной пропорции» в природе. Соотношение мужских и женских особей в пчелином рое, наутилус (спиралеобразная морская раковина), цветок подсолнечника со зрелыми семенами, спиралеобразно закрученные листья початка кукурузы, расположение листьев на стеблях растений, сегментационные части тел насекомых, все они в своем строении послушно следуют закону «божественной пропорции».
Но не только творения природы, но и произведения искусства демонстрируют связь с «божественной пропорцией». Лэнгдон демонстрирует студентам знаменитый рисунок Леонардо да Винчи, изображающий обнаженного мужчину в круге. «Витрувийский человек», так он был назван в честь Маркуса Витрувия, гениального римского архитектора, который вознес хвалу «божественной пропорции» в своих «Десяти книгах об архитектуре».
Роль Леонардо да Винчи в развитии теории и приложений «божественной пропорции» Лэнгдон оценивает очень высоко: «Никто лучше да Винчи не понимал божественной структуры человеческого тела. Его строения. Да Винчи даже эксгумировал трупы, изучая анатомию и измеряя пропорции костей скелетов. Он первым показал, что тело человека состоит из «строительных блоков», соотношение пропорций которых всегда равно нашему заветному числу». Совершенное человеческое тело подчинено «принципу божественной пропорции». Чтобы убедиться в этом, достаточно измерить расстояние от пупа до пола, а затем разделить свой рост на это расстояние. Получим число PHI. Тот же результат мы получим, если мы измерим расстояние от плеча до кончиков пальцев и затем разделим это расстояние на расстояние от локтя до тех же кончиков пальцев. Далее. Отношение расстояние от верхней части бедра, поделенное на расстояние от колена до пола, дает нам снова число PHI. Фаланги пальцев рук. Фаланги пальцев ног. И снова PHI, PHI. Таким образом, каждый человек есть живое воплощение «божественной пропорции».
Таким образом, утверждает Лэнгдон, «за кажущимся хаосом мира скрывается порядок. И древние, открывшие число PHI, были уверены, что нашли тот строительный камень, который Господь Бог использовал для создания мира, и начали боготворить Природу. Можно понять почему. Божий промысел виден в Природе, по сей день существуют языческие религии, люди поклоняются Матери Земле. Многие из нас прославляют Природу, как делали это язычники, вот только сами до конца не понимают почему. Прекрасным примером является празднование Майского дня, празднование весны. Земля возвращается к жизни, чтобы расцвести во всем своем великолепии. Волшебное мистическое наследие «божественной пропорции» пришло к нам с незапамятных времен. Человек просто играет по правилам Природы, а потому искусство есть не что иное, как попытка человека имитировать красоту, созданную Творцом вселенной. Так что нет ничего удивительного в том, что во время наших занятий мы увидим еще немало примеров использования «божественной пропорции» в искусстве».
В своей лекции профессор Лэнгдон показывает студентам слайды с произведениями Микеланджело, Альбрехта Дюрера, да Винчи и многих других художников и доказывает, что каждый из них строго следовал «божественной пропорции» в построении своих композиций. Лэнгдон демонстрирует наличие магического числа и в архитектуре, в пропорциях греческого Парфенона, пирамид Египта, даже здания ООН в Нью-Йорке. PHI проявлялось в строго организованных структурах моцартовских сонат, в Пятой симфонии Бетховена, а также в произведениях Бартока, Дебюсси и Шуберта. Число PHI использовал в расчетах даже Страдивари при создании своей уникальной скрипки.
В заключение своей лекции Лэнгдон обращается к пентаграмме или пентаклу. Этот символ является одним из самых могущественных образов, который на протяжении многих веков и во многих культурах считался одновременно божественным и магическим. Если нарисовать пентаграмму и провести в ней все диагонали, то они автоматически делятся на сегменты, соответствующие «божественной пропорции», то есть, соотношение линейных сегментов в пятиконечной звезде всегда равно числу PHI, что превращает этот символ в наивысшее выражение «божественной пропорции». Именно по этой причине пятиконечная звезда всегда была символом красоты и совершенства и ассоциировалась с Венерой, Богиней красоты, и священным женским началом.
Леонардо да Винчи и Золотое Сечение
Каждый образованный человек независимо от того, какую профессию он избрал, знает или хотя бы слышал об одном из самых замечательных периодов в истории человечества, об эпохе Ренессанса – великом времени Возрождения. Эпоха Возрождения ассоциируется с именами таких «титанов», как Леонардо да Винчи, Микеланджело, Рафаэль, Николай Коперник, Альберт Дюрер, Лука Пачоли. И первое место в этом списке по праву занимает Леонардо да Винчи, величайший художник, инженер и ученый эпохи Возрождения. Как подчеркивает в своих «Жизнеописаниях» знаменитый итальянский историк искусства, архитектор и художник Джорджо Вазари, «. дивным и божественным был Леонардо, сын Пьеро из Винчи, и он достиг бы великих итогов в науках и письменности, не будь он таким многосторонним и непостоянным».
Имеется много авторитетных свидетельств о том, что именно Леонардо да Винчи был одним из первых, кто ввел сам термин «Золотое Сечение». Белорусский философ Эдуард Сороко, который считается одним из наиболее авторитетных ученых в области «Теории гармонии и Золотого Сечения», в своей знаменитой книге «Структурная гармония систем» (1984) пишет по этому поводу следующее: «Термин «золотое сечение» (aurea sectio) идет от Клавдия Птолемея, который дал это название числу 0,618, убедившись в том, что рост человека правильного телосложения естественно делится именно в таком отношении. Закрепился же данный термин и стал популярным благодаря Леонардо да Винчи, который часто его использовал».
Доказано, что во многих своих произведениях Леонардо да Винчи использовал пропорции золотого сечения, в частности в «Тайной вечере» и знаменитой «Джоконде» (гармонический анализ «Джоконды» на основе Золотого Сечения дан ниже).
Для самого Леонардо да Винчи искусство и наука были связаны неразрывно. Отдавая в «споре искусств» пальму первенства живописи, Леонардо да Винчи понимал её как универсальный язык (подобный математике в сфере наук), который воплощает посредством пропорций и перспективы все многообразные проявления разумного начала, царящего в природе. Важнейшим источником для изучения воззрений Леонардо да Винчи по теории искусства являются его записные книжки и рукописи (около 7 тыс. листов). Сам Леонардо не оставил систематического изложения своих мыслей. «Трактат о живописи», составленный после смерти Леонардо да Винчи его учеником Ф. Мельци и оказавший огромное влияние на европейскую художественную практику и теоретическую мысль, состоял из отрывков, во многом произвольно извлечённых из контекста его записок. В «Трактате о живописи» излагаются сведения о пропорциях. В эпоху Возрождения математическое понятие — «Золотая Пропорция» было возведено в ранг главного эстетического принципа. Согласно художественным канонам Леонардо, золотая пропорция отвечает не только делению тела на две неравные части линией талии, при котором отношение большей части к меньшей равно отношению целого к большей части (это отношение приблизительно равно 1,618). Высота лица (до корней волос) относится к вертикальному расстоянию между дугами бровей и нижней частью подбородка, как расстояние между нижней частью носа и нижней частью подбородка относится к расстоянию между углами губ и нижней частью подбородка, это расстояние равно золотой пропорции. Разрабатывая правила изображения человеческой фигуры, Леонардо да Винчи пытался на основе литературных сведений древности восстановить так называемый «квадрат древних». Он выполнил рисунок, в котором показано, что размах вытянутых в сторону рук человека примерно равен его росту, вследствие чего фигура человека вписывается в квадрат и в круг («Витрувийский человек» Леонардо да Винчи).
Но наиболее ярким свидетельством огромной роли Леонардо да Винчи в развитии теории Золотого Сечения является его влияние на творчество выдающегося итальянского математика эпохи Возрождения Луки Пачоли, с которым он сблизился в Милане. В момент знакомства с Лукой Пачоли, который именовал себя Лука ди Борго Сан Сеполькро, последний был уже знаменитым математиком, автором книги «Сумма об арифметике, геометрии, пропорциях и пропорциональностях», изданной в Венеции в 1494 г. В Милан Пачоли прибыл в 1496 г. Леонардо да Винчи оставил несколько записей, которые свидетельствуют о его знакомстве с Лукой Пачоли: «Научись умножению корней у маэстро Луки», «попроси брата из Борго показать тебе книгу «О весах»». Считается, что именно под влиянием Леонардо да Винчи Лука Пачоли начинает писать свою «вторую великую книгу», названную им «О божественной пропорции». Эта книга была опубликована в 1496 г. Для этой книги Леонардо сделал иллюстрации. Об авторстве Леонардо сохранилось свидетельство самого Пачоли: «. таковые были сделаны достойнейшим живописцем, перспективистом, архитектором, музыкантом и всеми совершенствами одаренным Леонардо да Винчи, флорентийцем, в городе Милане. »
Таким образом, несомненно, что именно Леонардо да Винчи более чем кто-либо своими исследованиями способствовал тому, чтобы «Золотое Сечение» вошло в культуру Возрождения и стало ее главным эстетическим каноном. В 1986 г. польский журналист, ученый-египтолог Ян Греджиельский (Jan Grzedzielski) написал удивительную книгу «Энергетично-геометрический код природы». Главная идея книги состоит в том, чтобы показать роль Золотой Пропорции как универсального кода природы на всех уровнях ее организации. Но первым эту мысль выразил в своей знаменитой «Божественной Пропорции» великий итальянский математик Лука Пачоли. Еще раз напомним, что книга Пачоли написана под непосредственным влиянием Леонардо да Винчи, который своими иллюстрациями к ней способствовал ее широкому признанию в научном мире и по существу был идейным вдохновителем и соавтором этой книги. И поэтому мы имеем полное право назвать Леонардо «крестным отцом» Золотого Сечения в европейской культуре. И именно поэтому авторы берут на себя смелость утверждать, что понятие «Код да Винчи», введенное Дэном Брауном, есть ни что иное, как «Универсальный код Природы», названный Леонардо да Винчи Золотым Сечением. Именно Леонардо да Винчи, а вслед за ним Лука Пачоли, возможно, первыми в истории науки поняли роль этой уникальной пропорции в структурах Природы.
Код да винчи и ряды фибоначчи
Алексей Стахов, Анна Слученкова, Игорь Щербаков
Издательство «Питер» (Санкт-Петербург), 2006
Аннотация
Триллер «Код да Винчи», написанный популярным американским писателем Дэном Брауном, стал бестселлером 21-го века. Но что же такое «Код да Винчи»? Существуют различные ответы на этот вопрос. Известно, что предметом пристального внимания и увлечения Леонардо да Винчи было знаменитое «Золотое Сечение». Более того, сам термин «Золотое Сечение» был введен в европейскую культуру именно самим Леонардо да Винчи. По инициативе Леонардо да Винчи знаменитый итальянский математик и ученый монах Лука Пачоли, его друг и научный советник, опубликовал книгу «Divina Proportione», первое в мировой литературе математическое сочинение о Золотом Сечении. Автор назвал его «Божественной пропорцией». Известно также, что сам Леонардо иллюстрировал эту знаменитую книгу, нарисовав к ней 60 замечательных рисунков. Именно эти факты, которые не очень известны широкой научной общественности, дают право выдвинуть гипотезу о том, что „Код да Винчи» это ни что иное, как „Золотое Сечение». Подтверждение этой гипотезе можно найти в лекции для студентов Гарвардского университета, о которой вспоминает главный герой книги «Код да Винчи» проф. Лэнгдон. Таким образом, знаменитое иррациональное число PHI = 1,618, которое Леонардо да Винчи назвал „Золотым Сечением», и есть «Код да Винчи»! Именно эта идея положена в основу нашей книги, которая посвящена раскрытию математических тайн „Кода да Винчи»!
Золотое Сечение пронизывает всю историю культуры. Оно стало эстетическим каноном Египетской и Греческой культуры, а также культуры Возрождения. В течение многих тысячелетий Золотое Сечение было объектом восхищения и поклонения выдающихся ученых и мыслителей: Пифагора, Платона, Евклида, Леонардо да Винчи, Луки Пачоли, Иоганна Кеплера, Алана Тьюринга, Алексея Лосева и Павла Флоренского. Пирамида Хеопса (наибольшая из египетских пирамид), знаменитый греческий храм Парфенон, большинство греческих скульптур (включая Дорифора и Венеру Милосскую), непревзойденная «Мона Лиза» Леонардо да Винчи, картины Рафаэля и Микеланджело, знаменитого пейзажиста Ивана Шишкина и талантливого русского художника Константина Васильева, этюды Шопена и музыкальные произведения Бетховена, Моцарта, Чайковского и Беллы Барток, «Модулор» Корбюзье – вот далеко не полный перечень выдающихся произведений искусства, которые наполнены чудесной гармонией, в основе которой лежит удивительное Золотое Сечение! В современной науке интерес к Золотому Сечению возрос с новой силой. Золотое Сечение оказалось источником новых и плодотворных идей в математике, теоретической физике, кристаллографии, экономике, биологии, ботанике, компьютерной науке, теории кодирования и криптографии.
Книга «Код да Винчи и ряды Фибоначчи: Универсальный код Природы» является своеобразным «букварем» по Золотому Сечению. Она доступна каждому человеку, знающему математику в объеме средней школы. Но ее основными читателям мы хотели бы видеть школьников и учителей средних школ, студентов и преподавателей колледжей и университетов. Книга насыщена огромным количеством примеров из истории науки, математики и искусства и, мы надеемся, будет с интересом воспринята современным культурным и научным сообществом.
Код да винчи и ряды фибоначчи
Алексей Стахов, Анна Слученкова, Игорь Щербаков
Читая эту книгу, вы попадаете в удивительный мир, где вы узнаёте много нового и загадочного о том, что вас окружает в повседневной жизни, и о чем вы, возможно, не знали раньше. Мы назвали нашу книгу «Код да Винчи и ряды Фибоначчи: Универсальный код Природы». И раскрытие тайны «Универсального кода Природы» имеет большое значение для современной науки, так как с ними связана вся история человечества, нашей Земли, Вселенной и будущее науки.
Наверняка вам не раз приходилось задумываться, почему Природа способна создавать такие удивительные гармоничные структуры, которые восхищают и радуют глаз. Почему художники, поэты, композиторы, архитекторы создают восхитительные произведения искусства из столетия в столетие. В чем же секрет и какие законы лежат в основе этих гармоничных созданий? Никто не сможет однозначно ответить на этот вопрос, но в нашей книге мы постараемся приоткрыть завесу и рассказать вам об одной из тайн мироздания – Золотом Сечении или, как его еще называют, Золотой или Божественной Пропорции. Золотое Сечение называется числом PHI (Фи) в честь великого древнегреческого скульптора Фидия (Phidius), который использовал это число в своих скульптурах.
Не одно столетие ученые применяют уникальные математические свойства числа PHI и эти исследования продолжаются и в наши дни. Это число нашло широкое применение во всех областях современной науки, о чем мы так же попытаемся популярно рассказать на страницах нашей книги.
К разряду таких фундаментальных идей относится идея Гармонии, связанная с Золотым Сечением. По словам Б.Г. Кузнецова, исследователя творчества Альберта Эйнштейна, великий физик свято верил в то, что наука, физика в частности, всегда имела своей извечной фундаментальной целью «найти в лабиринте наблюдаемых фактов объективную гармонию». О глубокой вере выдающегося физика в существование универсальных законов гармонии мироздания свидетельствует и еще одно широко известное высказывание Эйнштейна: «Религиозность ученого состоит в восторженном преклонении перед законами гармонии».
В древнегреческой философии Гармония противостояла Хаосу и означала организованность Вселенной, Космоса. Гениальный русский философ Алексей Лосев так оценивает основные достижения древних греков в этой области:
А вот еще одно высказывание, касающееся Золотого Сечения. Оно было сделано в 17 веке и принадлежит гениальному астроному Иоганну Кеплеру, автору трех знаменитых «Законов Кеплера». Свое восхищение Золотым Сечением Кеплер выразил в следующих словах:
«В геометрии существует два сокровища – теорема Пифагора и деление отрезка в крайнем и среднем отношении. Первое можно сравнить с ценностью золота, второе можно назвать драгоценным камнем».
Напомним, что старинная задача о делении отрезка в крайнем и среднем отношении, которая упоминается в этом высказывании, – это и есть Золотое Сечение!
С Золотым Сечением тесно связаны числа Фибоначчи, открытые в 13 веке итальянским математиком Леонардо из Пизы, по прозвищу Фибоначчи. Они составляют числовой ряд, начинающийся с двух единиц, в котором каждое последующее число является суммой двух предыдущих. Отношение соседних чисел ряда Фибоначчи в пределе стремится к Золотому сечению.
Основными источниками информации для написания данной книги стали многочисленные статьи проф. Стахова, опубликованные в украинских академических журналах и международных журналах, а также следующие книги и брошюры проф. Стахова: Введение в алгоритмическую теорию измерения (1977), Алгоритмическая теория измерения (1979), Коды Золотой Пропорции (1984), Introduction into Fibonacci coding and cryptography (1999, в соавторстве с Анной Слученковой и Винансио Массинга),Сакральная Геометрия и Математика Гармонии (2003), Новая математика для живой природы (2003), Под знаком «Золотого Сечения». Исповедь сына студбатовца (2003), Hyperbolic Fibonacci and Lucas functions (2003), Museum of Harmony and Golden Section (2003, в соавторстве с Анной Слученковой). Однако книга вряд ли была бы написана без титанических усилий Анны Слученковой и Игоря Щербакова по сбору и систематизации огромного информационного материала по Золотому Сечению, содержащегося в многочисленных книгах, статьях и Интернетовских сайтах по Золотому Сечению, подготовленных русскоязычными и англоязычными авторами в последние десятилетия.