метод трапеций код с

Интеграл методом трапеций

Помощь в написании контрольных, курсовых и дипломных работ здесь.

Нахождение определенного интеграла методом трапеций
Добрый вечер! Помогите с кодом на С# для нахождения определенного интеграла методом трапеций. Мы.

Интеграл методом трапеций.
помогите вычислить интеграл методом трапеций от функции sqr(tg(x))+sqr(ctg(x)) на промежутке

Интеграл методом трапеций
Помогите пожалуйста! Нужно разработать программу, которая вычисляет точное и приближенное значения.

Nastya1808, Для эффективной помощи необходимо прикреплять весь проект, не создавать-же все самому! Я попробовал исправить Ваш код, попробуйте, а если необходимо еще консультировать,то дайте весь проект и список вопросов. Удачи!

Помощь в написании контрольных, курсовых и дипломных работ здесь.

Вычислить интеграл методом трапеций
Здравствуйте. Такая задачка: Реализовать алгоритм вычисления определенного интеграла методом.

Вычислить интеграл методом трапеций
Составите, пожалуйста, программу по методу трапеций, для вычисления значения определённого.

Вычислите интеграл методом трапеций
\int_<0>^<\frac<\pi ><2>>\fracdx частота промежутков (n) задается пользователем.

Вычислить интеграл методом трапеций.
Вычислить интеграл методом трапеций, разделив отрезок интегрирования на 36 частей. Проверить.

Источник

C++ и Численные Методы: Приближенное интегрование по Ньютону-Котесу

Методы Ньютона-Котеса — это совокупность техник приближенного интегрирования, основанных на:

Метод трапеций

Метод трапеций — простейший из рассмотренных. В качестве примера возьмем следующий интеграл:

Точность приближения зависит от числа N отрезков, на которые разбивается промежуток интегрирования. Таким образом, длина промежутка:

Площадь трапеции может быть вычислена по формуле:

Суммируя все вышесказанное, приближенное значение интеграла вычисляется по формуле:

Функция, вычисляющая интеграл методом трапеций должна принимать 4 параметра:

Метод Симпсона

Метод Симпсона заключается в интегрировании интерполяционного многочлена второй степени функции f(x) с узлами интерполяции a, b и m = (a+b)/2 — параболы p(x).Для повышения точности имеет смысл разбить отрезок интегрирования на N равных промежутков(по аналогии с методом трапеций), на каждом из которых применить метод Симпсона.

Площадь параболы может быть найдена суммированием площадей 6 прямоугольников равной ширины. Высота первого из них должна быть равна f(a), с третьего по пятый — f(m), шестого — f(m). Таким образом, приближение методом Симпсона находим по формуле:

Метод Ромберга

Пусть T(x) — приближение интеграла, полученное методом трапеций с шагом x. Получим 3 таких приближения, уменьшая размер шага в 2 раза при каждом вычислении.

Построим теперь симметричную относительно оси y параболу, проходящую через точки T(1) и T(1/2) чтоб экстраполировать полученные значения для x стремящегося к 0.

Следовательно, каждый член первого столбца R(n, 0) приближений Ромберга эквивалентен решениям полученным методом трапеций, а каждое решение второго столбца R (n, 1) — методом Симпсона. Таким образом, формулы для приближенного интегрирования методом Ромберга:

Источник

Интеграл методом трапеций

Помощь в написании контрольных, курсовых и дипломных работ здесь.

Разработать программу для вычисления интеграла методом трапеций и методом Симпсона
Разработать программу для вычисления интеграла методом трапеций и методом Симпсона, оформив каждый.

Вычислить интеграл по формуле трапеций
задание на картинке

Вычислить интеграл методами правых прямоугольников, трапеций и Симпсона
1. Вычислить интеграл методами правых прямоугольников, трапеций и Симпсона с шагом разбиения h =.

Решение пользовательского интеграла методом трапеций
Доброго времени суток, товарищи программисты. Задача следующая:решение пользовательского интеграла.

koperfild, один мой студент делал численный интеграл произвольным порядком аппроксимации. Не только прямоугольниками, трапециями и параболами, но и кусочно-кубическим методом, и по четвертой степени и даже выше. Я сейчас не помню формул, но там фокус был в том, что был аналитически в общем виде решен интеграл кривой n-го порядка, проходящей через n+1 точек. Даже не отдельно вычисление коэффициентов и отдельно к ним интеграл фрагмента, а сразу с точек вычисляется интеграл, описывающий площадь криволинейной трапеции.

Добавлено через 1 минуту

Построй графически и посмотри, в чём дело.

Источник

Вычисление определённых интегралов: базовые алгоритмы

В этой публикации описаны простейшие методы вычисления интегралов функций от одной переменной на отрезке, также называемые квадратурными формулами. Обычно эти методы реализованы в стандартных математических библиотеках, таких как GNU Scientific Library для C, SciPy для Python и других. Публикация имеет целью продемонстрировать, как эти методы работают «под капотом», и обратить внимание на некоторые вопросы точности и производительности алгоритмов. Также хотелось бы отметить связь квадратурных формул и методов численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, о которых хочу написать ещё одну публикацию.

Определение интеграла

Интегралом (по Риману) от функции на отрезке называется следующий предел:

где — мелкость разбиения, , , — произвольное число на отрезке .

Если интеграл от функции существует, то значение предела одно и то же вне зависимости от разбиения, лишь бы оно было достаточно мелким.

Более наглядно геометрическое определение — интеграл равен площади криволинейной трапеции, ограниченной осью 0x, графиком функции и прямыми x = a и x = b (закрашенная область на рисунке).

Квадратурные формулы

Определение интеграла (1) можно переписать в виде

где — весовые коэффициенты, сумма которых должна быть равна 1, а сами коэффициенты — стремиться к нулю при увеличении числа точек, в которых вычисляется функция.

Выражение (2) — основа всех квадратурных формул (т.е. формул для приближенного вычисления интеграла). Задача состоит в том, чтобы выбрать точки и веса таким образом, чтобы сумма в правой части приближала требуемый интеграл как можно точнее.

Вычислительная задача

Задана функция , для которой есть алгоритм вычисления значений в любой точке отрезка (имеются в виду точки, представимые числом с плавающей точкой — никаких там функций Дирихле!).

Требуется найти приближённое значение интеграла .
Решения будут реализованы на языке Python 3.6.

Для проверки методов используется интеграл .

Кусочно-постоянная аппроксимация

Идейно простейшие квадратурные формулы возникают из применения выражения (1) «в лоб»:

Т.к. от метода разбиения отрезка точками и выбора точек значение предела не зависит, то выберем их так, чтобы они удобно вычислялись — например, разбиение возьмём равномерным, а для точек вычисления функции рассмотрим варианты: 1) ; 2) ; 3) .

Получаем методы левых прямоугольников, правых прямоугольников и прямоугольников со средней точкой, соответственно.

Для анализа производительности квадратурных формул построим график погрешности в координатах «число точек — отличие численного результата от точного».

Что можно заметить:

Кусочно-линейная аппроксимация

Следующий логический шаг — аппроксимировать интегрируемую функцию на каждом из подотрезков линейной функцией, что даёт квадратурную формулу трапеций:

Иллюстрация метода трапеций для n=1 и n=2.

В случае равномерной сетки длины всех отрезков разбиения равны, и формула имеет вид

Построив график ошибки от числа точек разбиения, убеждаемся, что метод трапеций тоже имеет второй порядок аппроксимации и вообще даёт результаты, слабо отличающиеся от метода прямоугольников со средней точкой (в дальнейшем — просто метод прямоугольников).

Контроль точности вычисления

Задание в качестве входного параметра числа точек разбиения не слишком практично, поскольку обычно требуется вычислить интеграл не с заданной плотностью разбиения, а с заданной погрешностью. Если подынтегральная функция известна наперёд, то можно оценить погрешность заранее и выбрать такой шаг интегрирования, чтобы заданная точность заведомо достигалась. Но так редко бывает на практике (и вообще, не проще ли при известной наперёд функции и сам интеграл протабулировать наперёд?), поэтому необходима процедура автоматической подстройки шага под заданную погрешность.

Как это реализовать? Один из простых методов оценки погрешности — правило Рунге — разность значений интегралов, рассчитанных по n и 2n точкам, даёт оценку погрешности: . Метод трапеций удобнее для удвоения мелкости разбиения, чем метод прямоугольников с центральной точкой. При расчёте методом трапеций для удвоения числа точек нужны новые значения функции только в серединах отрезков предыдущего разбиения, т.е. предыдущее приближение интеграла можно использовать для вычисления следующего.

Отсюда получаем следующий код для метода трапеций с контролем точности:

С таким подходом подынтегральная функция не будет вычисляться по нескольку раз в одной точке, и все вычисленные значения используются для окончательного результата.

Но нельзя ли при том же количестве вычислений функции добиться более высокой точности? Оказывается, что можно, есть формулы, работающие точнее метода трапеций на той же самой сетке.

Кусочно-параболическая аппроксимация

Иллюстрация кусочно-параболического приближения на 3 и 5 точках (n=2 и n=3).

Приближая интеграл от функции на каждом из отрезков [x_k;x_k+2] интегралом от параболической аппроксимации на этом отрезке и считая точки равномерно распределенными (x_k+1=x_k+h), получаем формулу Симпсона:

Из формулы (4) напрямую получается «наивная» реализация метода Симпсона:

Для оценки погрешности можно использовать точно так же вычисление интеграла с шагами h и h/2 — но вот незадача, при вычислении интеграла с более мелким шагом результат предыдущего вычисления придётся отбросить, хотя половина новых вычислений функции будет в тех же точках, что и раньше.

Бесполезной траты машинного времени, к счастью, можно избежать, если реализовать метод Симпсона более хитроумным образом. Присмотревшись повнимательнее, заметим, что интеграл по формуле Симпсона может быть представлен через два интеграла по формуле трапеций с разными шагами. Яснее всего это видно на базовом случае аппроксимации интеграла по трём точкам :

Таким образом, если реализовать процедуру уменьшения шага вдвое и хранить два последних вычисления методом трапеций, метод Симпсона с контролем точности реализуется более эффективно.

Сравним эффективность метода трапеций и парабол:

Как видим, обоими методами ответ можно получть с достаточно высокой точностью, но количество вызовов подынтегральной функции разительно отличается — метод более высокого порядка эффективнее в 32 раза!

Построив график погрешности интегрирования от числа шагов, можно убедиться, что порядок аппроксимации формулы Симпсона равен четырём, т.е. ошибка численного интегрирования (а интегралы от кубических многочленов с помощью этой формулы вычисляются с точностью до ошибок округления при любом чётном n>0!).

Отсюда и возникает такой рост эффективности по сравнению с простой формулой трапеций.

Что дальше?

Дальнейшая логика повышения точности квадратурных формул, в целом, понятна — если функцию продолжать приближать многочленами всё более высокой степени, то и интеграл от этих многочленов будет всё точнее приближать интеграл от исходной функции. Этот подход называется построением квадратурных формул Ньютона-Котеса. Известны формулы вплоть до 8 порядка аппроксимации, но выше среди весовых коэффициентов w_i в (2) появляются знакопеременные члены, и формулы при вычислениях теряют устойчивость.

Попробуем пойти другим путём. Ошибка квадратурной формулы представляется в виде ряда по степеням шага интегрирования h. Замечательное свойство метода трапеций (и прямоугольников со средней точкой!) в том, что для неё этот ряд состоит только из чётных степеней:

На нахождении последовательных приближений к этому разложению основана экстраполяция Ричардсона: вместо того, чтобы приближать подынтегральную функцию многочленом, по рассчитанным приближениям интеграла строится полиномиальная аппроксимация, которая при h=0 должна давать наилучшее приближение к истинному значению интеграла.

Разложение ошибки интегрирования по чётным степеням шага разбиения резко ускоряет сходимость экстраполяции, т.к. для аппроксимации порядка 2n нужно всего n значений интеграла методом трапеций.

Если считать, что каждое последующее слагаемое меньше предыдущего, то можно последовательно исключать степени h, имея приближения интеграла, рассчитанные с разными шагами. Поскольку приведённая реализация легко позволяет дробить разбиение вдвое, удобно рассматривать формулы для шагов h и h/2.

Легко показать, что исключение старшего члена погрешности формулы трапеций в точности даст формулу Симпсона:

Повторяя аналогичную процедуру для формулы Симпсона, получаем:

Если продолжить, вырисовывается такая таблица:

В первом столбце стоят интегралы, вычисленные методом трапеций. При переходе от верхней строки вниз разбиение отрезка становится вдвое мельче, а при переходе от левого столбца вправо повышается порядок аппроксимации интеграла (т.е. во втором столбце находятся интегралы по методу Симпсона и т.д.).

Элементы таблицы, как можно вывести из разложения (5), связаны рекуррентным соотношением:

Погрешность приближения интеграла можно оценить по разности формул разных порядков в одной строке, т.е.

Применение экстраполяции Ричардсона вместе с интегрированием методом трапеций называется методом Ромберга. Если метод Симпсона учитывает два предыдущих значения по методу трапеций, то метод Ромберга использует все ранее вычисленные методом трапеций значения для получения более точной оценки интеграла.

Дополнительный метод добавляется в класс Quadrature

Проверим, как работает аппроксимация высокого порядка:

Убеждаемся, что, по сравнению с методом парабол, число вызовов подынтегральной функции снизилось ещё в 8 раз. При дальнейшем увеличении требуемой точности преимущества метода Ромберга проявляются ещё заметнее:

Некоторые замечания

Замечание 2. Если метод сходится при задании некоторой точности, это не означает, что вычисленное значение интеграла имеет ту же самую точность. В первую очередь, это относится к случаям, когда задаваемая погрешность близка к машинной точности.

Замечание 3. Хотя метод Ромберга для ряда функций работает почти магическим образом, он предполагает наличие у подынтегральной функции ограниченных производных высоких порядков. Это значит, что для функций с изломами или разрывами он может оказаться хуже простых методов. Например, проинтегрируем f(x)=|x|:

7 второе слагаемое в (6) теряет точность после приведения порядков при сложении чисел с плавающей точкой, и повышение порядка аппроксимации может вести к накоплению ошибки округления.

Замечание 5. Желающие могут ради интереса применить описанные методы для нахождения интеграла и эквивалентного ему . Как говорится, почувствуйте разницу.

Заключение

Представлено описание и реализация базовых методов численного интегрирования функций на равномерной сетке. Продемонстрировано, как с помощью несложной модификации получить на базе метода трапеций класс квадратурных формул по методу Ромберга, что значительно ускоряет сходимость численного интегрирования. Метод хорошо работает для интегрирования «обычных» функций, т.е. слабо меняющихся на отрезке интегрирования, не имеющих особенностей на краях отрезка (см. Замечание 5), быстрых осцилляций и т.д.

Продвинутые методы численного интегрирования для более сложных случаев можно найти в книгах из списка литературы (в [3] — с примерами реализации на C++).

Источник

Численное интегрирование методом трапеций

Помощь в написании контрольных, курсовых и дипломных работ здесь.

Численное интегрирование по формуле трапеций
Доброго времени суток форумчане, обращаюсь к вам за помощью, прошу сильно камнями не кидаться. В.

Численное интегрирование (метод трапеций). Как гарантировать нужную точность?
#include #include #define PI 3.1415926535 /*—-подинтегральная.

Интегрирование методом прямоугольников и трапеций
Такой вопрос, писал программу, которая вычисляет определенный интеграл методом трапеций и.

Численное интегрирование системы дифференциальных уравнений методом Адамса
как перевести код из С в С++ код на решение численного интегрирования системы дифференциальных.

первое, что бросается в глаза, в функции float fpr(float a, float b) вместо закрывающей фигурной скобки > стоит обычная.

Добавлено через 16 минут
Вернее ее там вообще нет.

В целом, вот подправленный код:

Помощь в написании контрольных, курсовых и дипломных работ здесь.

Не могу найти ошибку в коде (Численное интегрирование методом Симпсона)
Нужно предусмотреть обработку ситуации, когда заданная точность не может быть достигнута. Пытаюсь.

Численное интегрирование
Помогите пожалуйста. Нужно написать программу для вычисления интегральных функций ctgx пятью.

Источник