основное свойство циклических кодов

Основные свойства циклического кода

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ЦИКЛИЧЕСКИХ КОДАХ

Определение циклических кодов

Циклические коды являются подклассом в классе линейных блоковых кодов, удовлетворяющих определенным требованиям. Свое название данные коды получили по причине того, что основной операцией построения кодовых последовательностей, обозначаемых как F_i(x), является цикл, а точнее циклическая перестановка двоичных символов разрешенных кодовых последовательностей. Циклическим кодом называется линейный блоковый код, который представляет собой конечное множество, замкнутое относительно операции циклического сдвига кодовых последовательностей, образующих данный код. Для данных групповых кодов F_i,p(x) в результате циклического сдвига кодовых символов разрешенной КП влево или вправо на один, два, (k-1) символ вновь получается разрешенная КП.

В соответствии с теорией высшей алгебры ЦК – циклический код является идеалом в линейной коммутативной алгебре многочлена (полинома) n-го порядка по модулю двучлена x n – 1 над полем коэффициентов. Это означает, что кодовые последовательности ЦК имеют длину n двоичных кодовых символов и описываются полиномами степени (n – 1), в которых коэффициентами при соответствующих степенях формальной переменной, обозначаемой через x, являются двоичные символы кодовой последовательности. Формальная переменная «x» которая носит название оператора Хаффмана или оператора задержки не оказывает никакого влияния на свойства кода. Таким образом, кодовую последовательность ЦК в общем виде можно записать так:

где x – формальная переменная;

n-1, n-2,…,1,0 – показатели степеней, в которые возводятся основания кодов, и одновременно порядковые номера, которые занимают двоичные символы (разряды) кодовой последовательности, начиная со старшего и заканчивая последним;

c_i – коэффициенты формальной переменной, которые могут принимать значения или быть равными логической 1 (ненулевой член F_i(x)) или логического 0 (нулевой член F_i(x)). Например,

F_i(x) = 1 · x 4 + 0 · x 2 + 1 · x 1 + 0 · x 0 = x 4 + x = 10010. (1.2)

Представление кодовых последовательностей в виде полиномов позволяет установить однозначное соответствие между ними и свести действия над кодовыми последовательностями к действиям над полиномами: умножение, сложение, деление и вычитание этих полиномов производится по обычным правилам алгебры, но коэффициенты с одинаковыми показателями степени «x» суммируются по модулю два. Например, F_i(x) = (x 3 + x 2 +1) · F_j(x)= = (x + 1) = x 4 + x 3 + x 3 + x 2 + x + 1 = x 4 + (1⊕1) · x 3 + x 2 + x +1= x 4 + 0 · x 3 + x 2 + +x +1 = x 4 + x 2 + x + 1.

Заметим, что запись кодовой последовательности в виде многочлена, а затем перевода ее в двоичную форму записи, не всегда определяет длину кодовой последовательности n. Например, при n=5, многочлен F(x)= =x 2 +1=101, т.е. n=3, что неверно. В таких случаях надо дописать старшие нулевые символы, т.е. F(x)= x 2 +1=00101, что дает n=5 двоичным символам. Пусть F(x)= x 5 + x 3 + x 2 + x и n=7. Перевод в двоичную форму записи F(x)=0101110.

Следовательно, циклическую перестановку двоичных символов разрешенной кодовой последовательности можно рассматривать как умножение F(x) на x при первом сдвиге, на x 2 при втором сдвиге и т.д., что можно в общем виде записать или представить так:

(1.3)

Таким образом, можно сделать следующие выводы:

— ЦК – это такой линейный код, который обладает свойством цикличности кодовых последовательностей, т.е. когда каждая разрешенная кодовая последовательность содержит ее циклическую перестановку;

В качестве образующего полинома используются полиномы, обладающие следующими свойствами:

— образующий полином P(x) должен быть делителем двучлена x n +1;

— образующий полином не должен раскладываться на сомножители более низких степеней, и должен делиться без остатка на самого себя и на 1, т.е. на x 0 ;

— максимальная степень образующего полинома должна быть равной l=n-k, т.е. соответствовать количеству проверочных символов используемого кода.

В общем виде ЦК записывается как (n; k; d₀), что полностью определяет его параметры.

Параметры циклического кода

1) k – количество информационных двоичных символов в кодовой последовательности, и их число может быть равным k=1,2. ;

2) n – длина кодовой последовательности, равная количеству двоичных символов (бит) в кодовой последовательности.

3) – скорость передачи кода, характеризует количество избыточных символов приходящиеся на один информации символ. Чем больше , т.е. 1 ( всегда меньше 1), тем эффективнее помехоустойчивый код, так как передается меньше избыточной информации;

4) l=(n-k) – абсолютная избыточность кода, или количество поврежденных символов;

6) d₀ ≥ 2t+ 1(2) – кодовое расстояние равно (соответствует) количеству позиций, которыми разнятся (отличаются) две сравнимые кодовые последовательности; сравнивание кодовых последовательностей производится посимвольно (побитно) путем суммирования по модулю два, например:

d = 1 11 1111 = 7, т.е. d=7.

Хэмминг доказал, что не максимальное, а минимальное расстояние характеризует корректирующие свойства помехоустойчивого кода.

Минимальное кодовое расстояние обозначается как d₀ или d_x (хемминговое расстояние) и равно наименьшему значению d из всей их совокупности. Например, d₁=7, d₂=5, d₃=8,…. d_i=3, d_i+1=4,… d_j=9, d₀= d_x=3.

Хемминговое расстояние (d_x) чаще всего используется при передаче информации в дискретном канале связи, т.е. при передаче информации на видеочастоте.

7) t_исп ≤ – кратность неправильных ошибок;

8) t_обн≤ d_о-1 – кратность обнаруживающих ошибок;

Основные свойства циклического кода

ЦК – являясь дальнейшим развитием СЛБК, обладают всеми их свойствами, а и имеют следующие дополнительные свойства:

1. Сдвиг кодовых символов разрешенной кодовой последовательности влево или вправо на один, два,…, (k – 1) символ вновь приводит к разрешенной кодовой последовательности. Если же при циклическом сдвиге всегда будет получаться кодовая последовательность нового кода, то такой код будет называться квазициклическим; данные коды имеют несколько большую корректирующую способность и сложность реализации, чем ЦК;

2. Разрешенная кодовая последовательность без ошибок F_p′(x) при делении на полином P(x) дает нулевой остаток, т.е. F_p′(x)/ P(x)= R(x)=0 и R(x) не равно 0 – при наличии ошибок;

3. Сумма по модулю два символов двух, трех,…, (k – 1) разрешенных кодовых последовательностей вновь образует разрешенную кодовую последовательность;

4. Двучлен вида x n +1 должен делиться на порождающий полином P(x) без остатка (имеется в виду обычная операция деления многочленов);

5. Если все операции над полиномами (кодовыми последовательностями) проводятся в двоичном поле Галуа (GF(2)), т.е. действия над коэффициентами полиномов осуществляется по модулю два, а умножение полиномов производится по модулю образующего полиномаP(x), то применение указанных операций не приводит к кодовым последовательностям, длина которых больше длины заданного кода, т.е. n;

6. Результат деления двучлена x n +1 на образующий полином P(x) дает полином, который носит название проверочного полинома и обозначается как h(x), т.е. h(x) = (x n +1)/ P(x) и который в теории и практике помехоустойчивого кодирования играет важную роль. Произведение h(x) · P(x)= x n +1=0, а потому полиномы h(x) и P(x) рассматриваются как ортогональные и операция деления (x n +1)/ P(x) используется в основе построения алгоритмов декодирования;

которые можно использовать в качестве образующих полиномов ЦК с n=const, k=var и d_o=var.

P₁(x) = (x-1) = (x+1); l=1, n=7, k=6, d₀=1 – простой код: l,n,k и t_исп (t_исп – кратность исправленных ошибок) – изменяются в двоичных символах;

ЦК, задаваемые образующими полиномами P₁(x), P₂(x) и P₃(x), относятся к классу ЦК Хэмминга. ЦК, задаваемые полиномами P₄(x), P₅(x) и P₆(x), являются двойственными кодами Хэмминга и называются кодами максимальной длины (КМД).

Известно, что корректирующая способность групповых СБЛК существенно зависит от вида (структуры) образующего полинома, т.е. от количества ненулевых членов данного полинома и его максимальной степени l=n-k. В соответствии с этим можно еще дополнительно отметить следующие свойства ЦК:

8. ЦК, обнаруживающих ошибки:

— ЦК, образующий полином которого имеет более одного члена и не имеет общего множителя x, обнаруживает все одиночные ошибки и любое нечетное число ошибок. Простейшим образующим полиномом ЦК, обладающими данными свойствами, является полином вида P(x)=1+x;

9. ЦК, обнаруживающих и корректирующих ошибки:

— ввиду того, что полином P(x)= 1+x c нацело делится на 1+x, то согласно предыдущему свойству ЦК обеспечивает обнаружение любого нечетного количества ошибок;

— ЦК, образующий полином которого имеет максимальную степень l=n-k, обнаруживает любой пакет ошибок длиной t_{пак.обн}= l и менее двоичных символов или корректирует пакеты ошибок длиной t_{пак.исп}= l/2 двоичных символов;

Дата добавления: 2018-10-27 ; просмотров: 666 ; Мы поможем в написании вашей работы!

Источник

Свойства циклических кодов

ЦК обладают всеми свойствами СЛБК, а также имеют, ряд дополнительных свойств.

К основным свойствам ЦК относятся:

1. Вес разрешенной кодовой последовательности w_кп≥d₀;

2. Вес проверочной части разрешенной кодовой по­следовательности w_пр.ч.≥d₀-1;

3. Сдвиг кодовых символов разрешенной кодовой после­довательности влево или вправо на один, два. (k-1) символ вновь приводит к разрешенной кодовой последовательности. Ес­ли же при циклическом сдвиге всегда будет получатся кодовая последовательность нового кода, то такой код будет называться квазициклическим; данные коды имеют несколько большую корректирующую способность и сложность реализации, чем ЦК;

4. Разрешенная кодовая последовательность без ошибок Fp'(x) при делении на полином Р(х)дает нулевой остаток ≠0 при наличии ошибок;

5. Сумма по модулю два символов двух, трех. (k-1)разрешенных кодовых последовательностей вновь образует разрешенную кодовую последовательность;

6. Двучлен вида х п +1 должен делиться на порождающий полином Р(х) без остатка и результат дает проверочный полином h(x) =(х п +1)/Р(х. Произведение h(x)*P(x)=х n +1=0, а пото­му полиномы h(x) и Р(х) рассматривается как ортогональные и операция деления (х п +1)/Р(х) используется в основе построения алгоритмов декодирования;;

ЦК, задаваемые образующими полиномами Р₁(х), P₂(x) и Р₃(х), относятся к классу ЦК Хэмминга. ЦК, задаваемые поли­номами Р₄(х), P₅(x) и Р₆(х), являются двойственными кодами Хэмминга и называются кодами максимальной длины.

Корректирующая способность групповых СЛБК зависит от вида (структуры) образующе­го полинома, т.е. от количества ненулевых членов данного по­линома и его максимальной степени l=n-k. В соответствии с этим можно отметить следующие свойства ЦК:

а) обнаруживающих ошибки:

— ЦК, образующий полином которого имеет более одного члена и не имеет общего множителя х, обнаруживает все одиноч­ные ошибки и любое нечетное число ошибок. Простейшим обра­зующим полиномом ЦК, обладающими данными свойствами, является полином вида Р(х)=1+х;

б) обнаруживающих и корректирующих ошибки: в виду того, что полином Р(х)=1+х с нацело делится на 1+х, то согласно предыдущему свойству ЦК обеспечивает обнаружение любого нечетного количества ошибок;

— ЦК, образующий полином которого имеет максималь­ную степень l=п-к, обнаруживает любой пакет ошибок длинойи менее двоичных символов или корректирует паке­ты ошибок длинойдвоичных символов;

— количество пакетов длиной l+1, не обнаруживаемых ЦК, составляетчасти всех пакетов (l+1) двоичных симво­лов.

Количество пакетов ошибок длиной более l+1, необнаруживаемых ЦК, составляет часть всех пакетов ошибок длиной от (l+2) до n двоичных символов включительно.

Источник

Электронные средства сбора, обработки и отображения информации

Оглавление

Помехоустойчивое кодирование

Понятие корректирующего кода

Теория помехоустойчивого кодирования базируется на результатах исследований, проведенных Клодом Шенноном. Он сформулировал теорему для дискретного канала с шумом: при любой скорости передачи двоичных символов, меньшей, чем пропускная способность канала, существует такой код, при котором вероятность ошибочного декодирования будет сколь угодно мала.

Построение такого кода достигается ценой введения избыточности. То есть, применяя для передачи информации код, у которого используются не все возможные комбинации, а только некоторые из них, можно повысить помехоустойчивость приема. Такие коды называют избыточными или корректирующими. Корректирующие свойства избыточных кодов зависят от правил построения этих кодов и параметров кода (длительности символов, числа разрядов, избыточности и др.).

В настоящее время наибольшее внимание уделяется двоичным равномерным корректирующим кодам. Они обладают хорошими корректирующими свойствами и их реализация сравнительно проста.

Наиболее часто применяются блоковые коды. При использовании блоковых кодов цифровая информация передается в виде отдельных кодовых комбинаций (блоков) равной длины. Кодирование и декодирование каждого блока осуществляется независимо друг от друга, то есть каждой букве сообщения соответствует блок из п символов.

Блоковый код называется равномерным, если п (значность) остается одинаковой для всех букв сообщения.

Различают разделимые и неразделимые блоковые коды.

При кодировании разделимыми кодами кодовые операции состоят из двух разделяющихся частей: информационной и проверочной. Информационные и проверочные разряды во всех кодовых комбинациях разделимого кода занимают одни и те же позиции.

При кодировании неразделимыми кодами разделить символы выходной последовательности на информационные и проверочные невозможно.

Непрерывными называются такие коды, в которых введение избыточных символов в кодируемую последовательность информационных символов осуществляется непрерывно, без разделения ее на независимые блоки. Непрерывные коды также могут быть разделимыми и неразделимыми.

Общие принципы использования избыточности

Способность кода обнаруживать и исправлять ошибки обусловлена наличием избыточных символов. На ввод кодирующего устройства поступает последовательность из k информационных двоичных символов. На выходе ей соответствует последовательность из п двоичных символов, причем n>k. Всего может быть различных входных последовательностей и различных выходных последовательностей. Из общего числа выходных последовательностей только последовательностей соответствуют входным. Будем называть их разрешенными кодовыми комбинациями. Остальные ( — ) возможных выходных последовательностей для передачи не используются. Их будем называть запрещенными кодовыми комбинациями.

— случаев безошибочной передачи;

— ·(-1) случаев перевода в другие разрешенные комбинации, что соответствует необнаруживаемым ошибкам;

— ·( — ) случаев перехода в неразрешенные комбинации, которые могут быть обнаружены.

Часть обнаруживаемых ошибочных кодовых комбинаций от общего числа возможных случаев передачи соответствует:

К_обн .

Рассмотрим, например, обнаруживающую способность кода, каждая комбинация которого содержит всего один избыточный символ (п=k+1). Общее число выходных последовательностей составит , то есть вдвое больше общего числа кодируемых входных последовательностей. За подмножество разрешенных кодовых комбинаций можно принять, например, подмножество комбинаций, содержащих четное число единиц (или нулей). При кодировании к каждой последовательности из k информационных символов добавляется один символ (0 или 1), такой, чтобы число единиц в кодовой комбинации было четным. Искажение любого четного числа символов переводит разрешенную кодовую комбинацию в подмножество запрещенных комбинаций, что обнаруживается на приемной стороне по нечетности числа единиц. Часть обнаруженных ошибок составляет:

К_обн .

Пример кодирующего устройства с проверкой на четность показан на рис.

Основные параметры корректирующих кодов

Основными параметрами, характеризующими корректирующие свойства кодов являются избыточность кода, кодовое расстояние, число обнаруживаемых или исправленных ошибок.

Рассмотрим суть этих параметров.

Избыточность корректирующего кода может быть абсолютной и относительной. Под абсолютной избыточностью понимают число вводимых дополнительных разрядов

Относительной избыточностью корректирующего кода называют величину

_отн

_отн.

Эта величина показывает, какую часть общего числа символов кодовой комбинации составляют информационные символы. Ее еще называют относительной скоростью передачи информации.

Если производительность источника равна Н символов в секунду, то скорость передачи после кодирования этой информации будет равна

поскольку в последовательности из п символов только k информационных.

Если число ошибок, которое нужно обнаружить или исправить, значительно, необходимо иметь код с большим числом проверочных символов. Скорость передачи информации при этом будет уменьшена, так как появляется временная задержка информации. Она тем больше, чем сложнее кодирование.

Кодовое расстояние характеризует cтепень различия любых двух кодовых комбинаций. Оно выражается числом символов, которыми комбинации отличаются одна от другой.

Чтобы получить кодовое расстояние между двумя комбинациями двоичного кода, достаточно подсчитать число единиц в сумме этих комбинаций по модулю 2.

Кодовое расстояние может быть различным. Так, в первичном натуральном безызбыточном коде это расстояние для различных комбинаций может различаться от единицы до п, равной значности кода.

Число обнаруживаемых ошибок определяется минимальным расстоянием между кодовыми комбинациями. Это расстояние называется хэмминговым.

В безызбыточном коде все комбинации являются разрешенными, =1. Достаточно только исказиться одному символу, и будет ошибка в сообщении.

Теорема. Чтобы код обладал свойствами обнаруживать одиночные ошибки, необходимо ввести избыточность, которая обеспечивала бы минимальное расстояние между любыми двумя разрешенными комбинациями не менее двух.

Доказательство. Возьмем значность кода п=3. Возможные комбинации натурального кода образуют следующее множество: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111. Любая одиночная ошибка трансформирует данную комбинацию в другую разрешенную комбинацию. Ошибки здесь не обнаруживаются и не исправляются, так как =1. Если =2, то ни одна из разрешенных кодовых комбинаций при одиночной ошибке не переходит в другую разрешенную комбинацию.

Пусть подмножество разрешенных комбинаций образовано по принципу четности числа единиц. Тогда подмножества разрешенных и запрещенных комбинаций будут такие:

Очевидно, что искажение помехой одного разряда (одиночная ошибка) приводит к переходу комбинации в подмножество запрещенных комбинаций. То есть этот код обнаруживает все одиночные ошибки.

В общем случае при необходимости обнаруживать ошибки кратности — минимальное хэммингово расстояние должно быть, по крайней мере, на единицу больше , то есть

+1.

В этом случае никакая ошибка кратности не в состоянии перевести одну разрешенную комбинацию в другую.

Ошибки можно не только обнаруживать, но и исправлять.

Теорема. Для исправления одиночной ошибки каждой разрешенной кодовой комбинации необходимо сопоставить подмножество запрещенных кодовых комбинаций. Чтобы эти подмножества не пересекались, хэммингово расстояние должно быть не менее трех.

Доказательство. Пусть, как и в предыдущем примере, п=3. Примем разрешенные комбинации 000 и 111 (кодовое расстояние между ними равно 3). Разрешенной комбинации 000 поставим в соответствие подмножество запрещенных комбинаций 001, 010, 100. Эти запрещенные комбинации образуются в результате возникновения единичной ошибки в комбинации 000.

Аналогично разрешенной комбинации 111 необходимо поставить в соответствие подмножество запрещенных комбинаций 110, 011, 101. Если сопоставить эти подмножества запрещенных комбинаций, то очевидно, что они не пересекаются:

В общем случае исправляемые ошибки кратности связаны с кодовым расстоянием соотношением

=2+1. (2.1)

где — сочетание из п элементов по t (число возможных ошибок кратности t на длине п-разрядной комбинации).

Если, например, п=7, =1, то из (2.1)

Нужно отметить, что каждый конкретный корректирующий код не гарантирует исправления любой комбинации ошибок. Коды предназначены для исправления комбинаций ошибок, наиболее вероятных для заданного канала связи.

Групповой код с проверкой на четность

Недостатком кода с четным числом единиц является необнаружение четных групповых ошибок. Этого недостатка лишены коды с проверкой на четность, где комбинации разбиваются на части, из них формируется матрица, состоящая из некоторого числа строк и столбцов:

Строки образуются последовательно по мере поступления символов исходного кода. Затем после формирования т строк матрицы производится проверка на четность ее столбцов и образуются контрольные символы . Контрольные символы образуются путем суммирования по модулю 2 информационных символов, расположенных в столбце:

.

При таком кодировании четные групповые ошибки обнаруживаются. Не обнаруживаются лишь такие ошибки, при которых искажено четное число символов в столбце.

Можно повысить обнаруживающую способность кода путем одновременной проверки на четность по столбцам и строкам или столбцам и диагоналям (поперечная и диагональная проверка).

Если проверка проводится по строкам и столбцам, то код называется матричным.

Проверочные символы располагаются следующим образом:

;

.

В этом случае не обнаруживаются только ошибки четной кратности с кратностью 4, 8, 16 и т.д., при которых происходит искажение символов с попарно одинаковыми индексами строк столбцов. Наименьшая избыточность кода получается в том случае, когда образуемая матрица является квадратной.

Недостатком такого кода является необходимость внесения задержки в передачу информации на время, необходимое для формирования матрицы.

Матричный код позволяет исправлять одиночные ошибки. Ошибочный элемент находится на пересечении строки и столбца, в которых имеется нарушение четности.

Коды с постоянным весом

Весом называется число единиц, содержащихся в кодовых комбинациях.

В коде «3 из 7» возможных комбинаций сто двадцать восемь (=128), а разрешенных кода только тридцать пять. Относительная избыточность _отн = 0,28.

Схема устройства определения веса комбинаций кода «3 из 7» приведена на рис. 2.6.

Циклические коды

Циклические коды характеризуются тем, что при циклической перестановке всех символов кодовой комбинации данного кода образуется другая кодовая комбинация этого же кода.

— комбинация циклического кода;

— также комбинация циклического кода.

Например, комбинация 1001111 (п=7) будет представлена многочленом

При таком представлении действия над кодовыми комбинациями сводятся к действиям над многочленами. Эти действия производятся в соответствии с обычной алгебры, за исключением того, что приведение подобных членов осуществляется по модулю 2.

Обнаружение ошибок при помощи циклического кода обеспечивается тем, что в качестве разрешенных комбинаций выбираются такие, которые делятся без остатка на некоторый заранее выбранный полином G(x). Если принятая комбинация содержит искаженные символы, то деление на полином G(x) осуществляется с остатком. При этом формируется сигнал, свидетельствующий об ошибке. Полином G(x) называется образующим.

Построение комбинаций циклического кода возможно путем умножения исходной комбинации А(х) на образующий полином G(x) с приведением подобных членов по модулю 2:

Таким образом, все полиномы, отображающие комбинации циклического кода, будут иметь степень ниже п.

Часто в качестве полинома, на который осуществляется деление, берется полином G(x)=+1. При таком формировании кодовых комбинаций позиции информационных и контрольных символов заранее определить нельзя.

Большим преимуществом циклических кодов является простота построения кодирующих и декодирующих устройств, которые по своей структуре представляют регистры сдвига с обратными связями.

Число разрядов регистра выбирается равным степени образующего полинома.

Обратная связь осуществляется с выхода регистра на некоторые разряды через сумматоры, число которых выбирается на единицу меньше количества ненулевых членов образующего полинома. Сумматоры устанавливаются на входах тех разрядов регистра, которым соответствуют ненулевые члены образующего полинома.

На рис. 2.7 приведена схема кодирующего регистра для преобразования четырехразрядной комбинации в семиразрядную.

В табл. 2.3 показано, как путем сдвигов исходной комбинации 0101 получается комбинация циклического кода 1010011. п=7, k=4. Комбинация 0101, ключ в положении 1. В течение первых четырех тактов регистр будет заполнен, затем ключ переводится в положение 2. Обратная связь замыкается. Под действием семи сдвигающих тактов проходит формирование семиразрядного циклического кода.

Свойства циклического кода:

1) циклический код обнаруживает все одиночные ошибки, если образующий полином содержит более одного члена. Если G(x)=x+1, то код обнаруживает одиночные ошибки и все нечетные;

2) циклический код с G(x)=(x+1)G(x) обнаруживает все одиночные, двойные и тройные ошибки;

Источник