Начиная с XVIII века, в общем направлении статистических исследований начинает активно формироваться математическая статистика.
Математическая статистика – раздел математики, разрабатывающий методы регистрации, описания и анализа данных наблюдений и экспериментов с целью построения вероятностных моделей массовых случайных явлений.
В зависимости от предмета исследований математическая статистика делится на:
В зависимости от цели и методов исследований математическая статистика делится на: описательную статистику; теорию оценивания; теорию проверки гипотез.
Описательная статистика
Теория оценивания
Теория проверки гипотез
Цель
Обработка и систематизация эмпирических данных
Оценивание ненаблюдаемых данных и сигналов от объектов наблюдения на основе наблюдаемых данных
Обоснование предположений о виде распределения и свойствах случайной величины
Методы
1. Наглядное представление в форме графиков и таблиц.
2. Количественное описание с помощью статистических показателей.
1. Параметрические методы (наименьших квадратов, максимального правдоподобия и др.).
2. Непараметрические методы.
1. Последовательный анализ.
2. Статистические критерии.
Метод выборочных исследований
Статистика получила признание в различных областях человеческой деятельности благодаря заметной экономии времени и прочих ресурсов. Её основная идея: не нужно измерять всё, измерьте только часть всего и сделайте предположение об остальном.
«Всё» в статистике называется генеральной совокупностью.
«Часть всего», которую мы тщательно исследуем, называется выборкой.
Метод выборочных исследований – способ определения свойств группы объектов ( генеральной совокупности ) на основании статистического исследования её части ( выборки ).
Например, чтобы оценить средние размеры апельсина, который продаётся в магазине в декабре, необязательно денно и нощно мерить все апельсины во всех ящиках (сколько же для этого нужно времени и людей?!). Достаточно сделать выборку – мерить по одному апельсину из каждого ящика в течение месяца (тут уже и один человек справится).
Статистика предоставляет методику и оценки для того, чтобы правильно провести выборку и на основании знаний о среднем размере апельсина в выборке (выборочной средней) судить о средних размерах всех декабрьских апельсин (генеральной средней).
Средняя арифметическая, простая и взвешенная
Статистическое исследование опирается на собранные данные о каком-то признаке (рост, вес, возраст, доход и т.п.).
Варианта – полученное эмпирическое значение признака.
Вариационный ряд – совокупность собранных вариант.
Пусть мы сделали выборку, провели N измерений и получили x_1,x_2,…,x_N вариант.
Чтобы найти выборочную среднюю дискретного вариационного ряда, нужно вычислить среднюю арифметическую простую :
На протяжении четверти школьник получил такие оценки по алгебре: 5,4,3,5,4,4,5,4,3,5,5,4,3,5,4,4. Найдите среднюю оценку за четверть.
Считаем среднюю арифметическую простую:
Нетрудно заметить, что оценки повторяются, и вычисления можно упростить, если вместо сложения одинаковых оценок использовать умножение оценок на их количество.
Чтобы найти выборочную среднюю при повторяющихся вариантах, удобно вычислять среднюю арифметическую взвешенную:
Рассматриваем тот же ряд оценок: 5,4,3,5,4,4,5,4,3,5,5,4,3,5,4,4 и составляем таблицу:
Модой называется значение изучаемого признака, имеющего наибольшую частоту и обозначают Мо.
В дискретном ряду мода определяется без вычисления как значение признака с наибольшей частотой. Обычно встречаются ряды с одним модальным значением признака. Если два или несколько равных (и даже несколько различных, но больших, чем соседние) значений признака имеются в вариационном ряду, он считается соответственно бимодальным («верблюдообразным») либо мультимодальным. Это говорит о неоднородности совокупности, возможно, представляющей собой сумму нескольких совокупностей с разными модами.
В интервальном вариационном ряду и при непрерывной вариации признака, предполагается, что каждое значение признака встречается только один раз. Модальным интервалом является интервал с наибольшей частотой. Внутри этого интервала находят условное значение признака, вблизи которого плотность распределения, т.е. число единиц совокупности, приходящееся на единицу измерения варьирующего признака, достигает максимума. Это условное значение и считается модой. Логично предположить, что такое значение располагается ближе к той из границ интервала, за которой частота в соседнем интервале больше частоты в интервале за другой границей модального интервала.
— нижняя граница модального интервала;
– частота в модальном интервале;
— частота интервала предшествующего модальному;
— частота интервала следующего за модальным;
i — величина интервала.
Пример. Рассчитать моду по данным представленным в таблице.
Распределение хозяйств области по урожайности зерновых культур
В статистике модой называется величина признака (варианта), которая чаще всего встречается в данной совокупности. Медианой в статистике называется варианта, которая находится в середине вариационного ряда. Медиана делит ряд пополам. Обозначают медиану символом.
Распределительные средние – мода и медиана, их сущность и способы исчисления.
Данные показатели относятся к группе распределительных средних и используются для формирования обобщающей характеристики величины варьирующего признака.
Мода – это наиболее часто встречающееся значение варьирующего признака в вариационном ряду. Модой распределения называется такая величина изучаемого признака, которая в данной совокупности встречается наиболее часто, т.е. один из вариантов признака повторяется чаще, чем все другие. Для дискретного ряда (ряд, в котором значение варьирующего признака представлены отдельными числовыми показателями) модой является значение варьирующего признака обладающего наибольшей частотой. Для интервального ряда сначала определяется модальный интервал (т.е. содержащий моду), в случае интервального распределения с равными интервалами определяется по наибольшей частоте; с неравными интервалами – по наибольшей плотности, а определение моды требует проведения расчетов на основе следующих формул:
— частота модального интервала;
Для определения медианы в дискретном ряду при наличии частот, сначала исчисляется полусумма частот, а затем определяется какое значение варьирующего признака ей соответствует. При исчислении медианы интервального ряда сначала определяются медианы интервалов, а затем определяется какое значение варьирующего признака соответствует данной частоте. Для определения величины медианы используется формула:
— частота медианного интервала;
Медианный интервал не обязательно совпадает с модальным.
Моду и медиану в интервальном ряду распределения можно определить графически. Мода определяется по гистограмме распределения. Для этого выбирается самый высокий прямоугольник, который в данном случае является модальным. Затем правую вершину модального прямоугольника соединяют с правым верхним углом предыдущего прямоугольника. А левую вершину модального прямоугольника – с левым верхним углом последующего прямоугольника. Далее из точки их пересечения опускают перпендикуляр на ось абсцисс.
Для характеристики рядов распределения (структуры вариационных рядов), наряду со средней, используются т. н. структурные средние: мода и медиана. Мода и медиана наиболее часто используются в экономической практике.
Мода– варианта, которая наиболее часто встречается в ряду распределения (в данной совокупности).
В дискретных вариационных рядах мода определяется по наибольшей частоте. Предположим товар А реализуют в городе 9 фирм по следующим ценам в рублях:
При характеристике социальных групп населения по уровню дохода следует использовать модальное значение, нежели среднее. Средняя будет занижать одни показатели и завышать другие — тем самым осредняя (уравнивания) доходы всех слоев населения.
В интервальных вариационных рядах моду определяют приближенно по формуле:
Распределение населения по уровню среднедушевого месячного дохода
Среднедушевой доход, руб.
Удельный вес населения, % (f i)
Накопленная частота, % (Si)
Интервал 1000-3000 в данном распределении будет модальным, т.к. он имеет наибольшую частоту (f=35,5). Тогда по вышеуказанной формуле мода будет равна:
Мода применяется для решения некоторых практических задач. Так, например, при изучении товарооборота рынка берется модальная цена, для изучения спроса на обувь, одежду используют модальные размеры обуви и одежды.
Медиана– это численное значение признака у той единицы совокупности, которая находится в середине ранжированного ряда (построенного в порядке возрастания, либо убывания значений изучаемого признака). Медиану иногда называют серединной вариантой, т.к. она делит совокупность на две равные части таким образом, чтобы по обе ее стороны находилось одинаковое число единиц совокупности. Если всем единицам ряда присвоить порядковые номера, то порядковый номер медианы будет определяться по формуле (n+1):2 для рядов, где n — нечетное. Если же ряд с четным числом единиц, то медианой будет являться среднее значение между двумя соседними вариантами, определенными по формуле: n:2, (n+1):2, (n:2)+1.
В дискретных вариационных рядах с нечетным числом единиц совокупности — это конкретное численное значение в середине ряда.
Нахождение медианы в интервальных вариационных рядах требует предварительного определения интервала, в котором находится медиана, т.е. медианногоинтервала – этот интервал характеризуется тем, что его кумулятивная (накопленная) частота равна полусумме или превышает полусумму всех частот ряда.
По данным таблицы определим медианное значение среднедушевого дохода. Для этого необходимо определить какой интервал будет медианным. Используем формулу номера медианной единицы ряда, т.е. середины:
Для того, чтобы определить графически интервал, в котором находится медиана, по оси ординат откладывают накопленные частоты, а по оси абсцисс — центры интервалов. Из точки на оси ординат, которой соответствует 50.5% суммы накопленных частот, проводят линию параллельно оси абсцисс до пересечения с кумулятой. Из точки пересечения опускают перпендикуляр на ось абсцисс.
Соотношение моды, медианы и средней арифметической указывает на характер распределения признака в совокупности, позволяет оценить его асимметрию. Если M0 0 – левосторонняя асимметрия ряда. По приведенному примеру можно сделать заключение, что наиболее распространенным является доход порядка 2715 руб. в месяц. В то же время, более половины населения располагает доходом свыше 3807 руб., при среднем уровне 4338 руб.
Из соотношения этих показателей следует сделать вывод о правосторонней асимметрии распределения населения по уровню среднедушевого денежного дохода:
Квартиль –это четвертая часть совокупности, определяется как и медиана, только сумму частот необходимо разделить на 4, а при определении квартильного интервала, кумулятивная частота должна быть больше или равна четверти суммы частот совокупности.
Дециль – делит совокупность на десять равных частей. Определяется аналогично как и квартиль, только сумму частот необходимо разделить на 10.
Структурные характеристики вариационного ряда распределения
8.1. Мода
8.1.1. Определение моды в дискретных вариационных рядах
В дискретных вариационных рядах для определения моды не требуется специальных вычислений: значение признака, которому соответствует наибольшая частота, и будет значением моды.
Пример 8.1. По представленным ниже результатам проведения контрольной работы по статистике определим моду.
8.1.2. Определение моды в интервальных вариационных рядах с равными интервалами
Для определения моды в интервальных вариационных рядах с равными интервалами сначала находят модальный интервал, которым является интервал с наибольшей частотой, а затем ведут расчет по формуле
Пример 8.2. Имеются данные по группе банков.
Таблица 8.1.
Сумма выданных кредитов, млн ден. ед.
Количество банков
До 40
8
40-60
15
60-80
21
80-100
12
100-120
9
120-140
7
140 и выше
4
Итого
77
Определим модальный размер выданных кредитов:
Подставив в формулу соответствующие величины, получим
Пример 8.3. По результатам проведения контрольной работы по статистике, приведенным в примере 8.1, определим моду графическим способом.
Для этого построим полигон распределения и найдем абсциссу его вершины (рис. 8.1).
Пример 8.4. По данным о распределении банков по сумме выданных кредитов, приведенным в примере 8.2, определим моду графическим способом (рис. 8.2).
– это наиболее часто встречающееся значение варьирующего признака в вариационном ряду. Модой распределения называется такая величина изучаемого признака, которая в данной совокупности встречается наиболее часто, т.е. один из вариантов признака повторяется чаще, чем все другие. Для дискретного ряда (ряд, в котором значение варьирующего признака представлены отдельными числовыми показателями) модой является значение варьирующего признака обладающего наибольшей частотой. Для интервального ряда сначала определяется модальный интервал (т.е. содержащий моду), в случае интервального распределения с равными интервалами определяется по наибольшей частоте; с неравными интервалами – по наибольшей плотности, а определение моды требует проведения расчетов на основе следующих формул:
— частота модального интервала;
— частота медианного интервала;
